2023年普通高等學校招生全國統一考試（新課標）
理科數學
第一卷一． 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給同的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
（1）已知集合；,則中所含元素
的個數為（ d ）
共10個
（2）將名教師，名學生分成個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，
每個小組由名教師和名學生組成，不同的安排方案共有（ a ）
種種種種
甲地由名教師和名學生：種
（3）下面是關於複數的四個命題：其中的真命題為（ c ）
的共軛複數為的虛部為
的共軛複數為，的虛部為
（4）設是橢圓的左、右焦點，為直線上一點，
是底角為的等腰三角形，則的離心率為（ c ）
是底角為的等腰三角形
（5）已知為等比數列，，，則（ d ）
，或（6）如果執行右邊的程式框圖，輸入正整數和
實數，輸出，則（ c ）
為的和為的算術平均數
和分別是中最大的數和最小的數
和分別是中最小的數和最大的數
（7）如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的
是某幾何體的三檢視，則此幾何體的體積為（ b ）
該幾何體是三稜錐，底面是俯檢視，高為
此幾何體的體積為
（8）等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交於
兩點，；則的實軸長為（ c ）
設交的準線於
得： （9）已知，函式在上單調遞減。則的取值範圍是（ a ）
不合題意排除
合題意排除
另：，得：
金解析：正弦曲線在乙個週期或內的單調性的結論要牢記。
令： 得：
由題意知：
即： 取得：
（10） 已知函式；則的影象大致為（ b ）
得：或均有排除
金解析：函式的定義域為,可否定d ；
取,可否定a ；
取 ，可否定c 。所以選b
（11）已知三稜錐的所有頂點都在球的求面上，是邊長為的正三角形，
為球的直徑，且；則此稜錐的體積為（ a ）
的外接圓的半徑，點到面的距離
為球的直徑點到面的距離為
此稜錐的體積為
另：排除
（12）設點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（ a ）
函式與函式互為反函式，圖象關於對稱
函式上的點到直線的距離為
設函式由圖象關於對稱得：最小值為
第ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題~第21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22-第24題為選考題，考生根據要求做答。
二．填空題：本大題共4小題，每小題5分。
（13）已知向量夾角為，且；則
(14) 設滿足約束條件：；則的取值範圍為
約束條件對應四邊形邊際及內的區域：
則（15）某個部件由三個元件按下圖方式連線而成，元件1或元件2正常工作，且元件3
正常工作，則部件正常工作，設三個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從
正態分佈，且各個元件能否正常相互獨立，那麼該部件的使用壽命
超過1000小時的概率為
三個電子元件的使用壽命均服從正態分佈
得：三個電子元件的使用壽命超過1000小時的概率為
超過1000小時時元件1或元件2正常工作的概率
那麼該部件的使用壽命超過1000小時的概率為
（16）數列滿足，則的前項和為
【解析】的前項和為
可證明：
三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（17）（本小題滿分12分）
已知分別為三個內角的對邊，
（1）求 （2）若，的面積為；求。
【解析】（1）由正弦定理得：
（2）解得：
18.（本小題滿分12分）
某花店每天以每枝元的**從農場購進若干枝玫瑰花，然後以每枝元的****，
如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理。
（1）若花店一天購進枝玫瑰花，求當天的利潤(單位：元)關於當天需求量
（單位：枝，）的函式解析式。
（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率。
（i）若花店一天購進枝玫瑰花，表示當天的利潤（單位：元），求的分布列，
數學期望及方差；
（ii）若花店計畫一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？
請說明理由。
【解析】（1）當時，
當時，得： （2）（i）可取，，
的分布列為
（ii）購進17枝時，當天的利潤為
得：應購進17枝
（19）（本小題滿分12分）
如圖，直三稜柱中，，
是稜的中點，
（1）證明：
（2）求二面角的大小。
【解析】（1）在中，
得： 同理：
得：面 （2）面
取的中點，過點作於點，連線
，麵麵面
得：點與點重合
且是二面角的平面角
設，則，
既二面角的大小為
（20）（本小題滿分12分）
設拋物線的焦點為，準線為，，已知以為圓心，
為半徑的圓交於兩點；
（1）若，的面積為；求的值及圓的方程；
（2）若三點在同一直線上，直線與平行，且與只有乙個公共點，
求座標原點到距離的比值。
【解析】（1）由對稱性知：是等腰直角，斜邊
點到準線的距離
圓的方程為
（2）由對稱性設，則
點關於點對稱得：
得：，直線
切點直線座標原點到距離的比值為。
（21）（本小題滿分12分）
已知函式滿足滿足；
（1）求的解析式及單調區間；
（2）若，求的最大值。
【解析】（1）
令得：得：
在上單調遞增
得：的解析式為
且單調遞增區間為，單調遞減區間為
（2）得
當時，在上單調遞增
時，與矛盾
當時，得：當時，
令；則當時，當時，的最大值為
請考生在第22,23,24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分，
做答時請寫清題號。
（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖，分別為邊的中點，直線交
的外接圓於兩點，若，證明：
（1）；
（2）△bcd∽△gbd
【解析】（1），
（2）bcd∽△gbd
（23）本小題滿分10分)選修4—4；座標系與引數方程
已知曲線的引數方程是，以座標原點為極點，軸的正半軸
為極軸建立座標系，曲線的座標系方程是，正方形的頂點都在上，
且依逆時針次序排列，點的極座標為
（1）求點的直角座標；
（2）設為上任意一點，求的取值範圍。
【解析】（1）點的極座標為
點的直角座標為
（2）設；則
（24）（本小題滿分10分）選修：不等式選講
已知函式
（1）當時，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值範圍。
【解析】（1）當時，
或或或（2）原命題在上恆成立
在上恆成立
在上恆成立
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