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定積分的概念。
1、定積分的概念；2、定積分的性質。
1、使學生理解定積分的概念以及它的幾何意義；2、使學生掌握定積分的性質；3、使學生體會定積分的應用價值。
6.1定積分的概念
課時2問題引入、層層遞進
思想統攝-數形結合-形式抽象化
相關內容素材
引例------定積分----幾何意義-----性質
§1特殊和式的極限-----定積分的概念
1.1抽象定積分概念的兩個現實原型
我們先從分析和解決幾個典型問題入手,來看定積分的概念是怎樣從現實原型抽象出來的.
原型i求曲邊梯形的面積
設f(x)為閉區間[a,b]上的連續函式,且f(x)0.由曲線yf(x),直線
教學過程
xa,xb以及x軸所圍成的平面圖形,稱為f(x)在[a,b]上的曲邊梯形.試求此曲
邊梯形的面積s
在初等數學裡,圓面積是用一系列邊數無限增加的內接正多邊形面積的極限來定義的.現在仍用類似的思想方法來定義曲邊梯形的面積.
在區間[a,b]內任取n1個分點ax0x1xn1xnb,
把區間[a,b]分成n個小閉子區間xixixi1,小區間的長度也用xi表示,即xixixi1,i1,2,,n,
並用符號max表示n個小閉子區間xi中的最大長度.然後用直線
xxi(i1,2,,n1)把原曲邊梯形分成n個小曲邊梯形,小曲邊梯形的面積記作si(i1,2,n).在每個小區間xi上任取一點i,作以f(i)為高,[xi1,xi]為底的
小矩形.當分割[a,b]的分點較多,分割得較細時,由於f(x)在[a,b]上連續,因而在每個小區間xi上f(x)的值變化不大,這樣就可以用這些小矩形的面積近似代替相應小曲邊梯形的面積,即
f(i)xisi,i1,2,,n.
於是曲邊梯形的面積s就可以用這n個小矩形的面積之和來近似代替,即
f()xsii
i1i1nni
s.當上述分割越來越細(即分點越來越多,同時各個小區間的長度越來越小)時,該公式的近似程度越來越好,因此,當n,同時max0時,就有
f()xii1
nis.求曲邊梯形面積的這種思想方法概括起來說就是」分割,近似求和,取極限」.原型ii求變力所作的功
設質點m受力f的作用沿x軸由點a移動至點b,並設f平行於x軸.如果f是常量,則它對質點所作的功為wf(ba)如果力f不是常量,而是質點所在位置x的連續函式
ff(x),axb
那麼f對質點m所作的功w應如何計算呢?
我們仍按求曲邊梯形面積的思想方法來進行.在區間[a,b]內任取n1個分點
ax0x1xn1xnb,
把[a,b]分成n個小區間xi[xi1,xi],i1,2,,n.也用xi表示這些小區間的長度.當各個小區間的長度xi[xi1,xi],都很小時,由於力f(x)的連續性,它在每個小區間xi上變化不大而可以近似看作常量,即在xi上任取一點i,把該點處的力f(i)作為xi上變力f(x)的近似值,於是,f(i)xi就近似於質點m從點xi1位移到xi時力f(x)所作的功wi,從而
wwif(i)xi
i1i1
nn當分點越來越多,同時各個小區間的長度越來越小時,上式的近似程度將越來越好.因此,當n,同時最大的小區間的長度max0時,就有
f()xii1
niw.1.2定積分的概念
從前面的敘述我們看到,不管是原型i中的求曲邊梯形的面積問題,還是原型ii中求變力作功問題,實際背景完全不同,但通過」分割,近似求和,取極限」,都能化為
形如f()xii1
ni的和式的極限問題.由此可抽象出定積分的概念.
定義設f(x)是定義在區間[a,b]上的有界函式,用點
ax0x1x2xi1xixnb將區間[a,b]任意分割成n個小子
區間[xi1,xi](i1,2,,n).在每個子區間xi上任取一點i,作n個乘積
f(i)xi的和式
f()xii1
ni.如果當n,同時最大子區間的長度max0時,和式
f()xii1
ni的極限存在,並且其極限值與區間[a,b]的分割法以及i的取法無關,則該f(i)xi極限值稱為函式f(x)在區間[a,b]上的定積分,記作ba
f(x)dx,即ba
f(x)dxlimf(i)xini1
n其中右端的f(i)xi稱為積分元素,
f()xii1
ni稱為積分和(或和式),左端的符號
""稱為積分號,f(x)稱為被積函式,f(x)dx稱為積分表示式,x稱為積分變
量,[a,b]稱為積分區間,a稱為積分下限,b稱為積分上限.
可見定積分是特殊和式的極限.
定積分存在稱為可積,否則稱為不可積.
由定積分的概念,原型i和ii的問題可簡潔地表述為
(1)連續函式yf(x)0在[a,b]上構成的曲邊梯形的面積為函式yf(x)在
[a,b]上的定積分,即
sf(x)dx.ab
(2)在連續變力f(x)作用下,質點m沿x軸從點a位移到點b所做的功為f(x)在
[a,b]上的定積分,即wb
af(x)dx
上述(1)正好說明了定積分的幾何意義.即當yf(x)0時,定積分的幾何意義
就是以曲線yf(x),直線xa,xb以及x軸為邊的曲邊梯形的面積s;但若
f(x)0,由定積分的意義可知,這時s為負值.對於一般函式f(x)而言,定積分s的
值則是曲線在x軸上方部分的正面積與下方部分的負面積的代數和.
應注意:定積分是積分和的極限,它的值既與函式f(x)有關,又與積分區間[a,b]有關,但與積分變數的符號無關,即ba
f(x)dxf(t)dtf(u)du.aa
bb1.3求定積分過程中的辯證思維1.4可積條件
在定積分理論中,需考慮兩個基本問題:可積的函式滿足什麼條件?滿足什麼條件的函式可積?下面的兩個定理分別回答了這兩個問題.
定理1 (可積的必要條件)若函式f(x)在[a,b]上可積,則f(x)在[a,b]上有界.這個定理指出,任何可積函式一定是有界的.與它等價的逆否命題是:
無界函式一定不可積.自然應該知道,有界函式不一定可積.
定理2 (可積的充分條件)若f(x)是閉區間[a,b]上的連續函式,或者是閉區間
[a,b]上的單調函式,或者是[a,b]上只有有限個間斷點的有界函式,則f(x)在[a,b]上
可積.1.5定積分的性質
定積分有如下一些基本性質:
定理1若f(x)在[a,b]上可積,k為常數,則kf(x)在[a,b]上也可積,且ba
kf(x)dxkf(x)dx.ab
證:對任意分割,函式f(x)kf(x)在[a,b]上的積分和為
f()xkf()xii
ii1i1nni.
由於f(x)在[a,b]上可積,當n同時0時(max),右端積分和的極限存在,即公式成立.
定理2若f(x),g(x)在[a,b]上可積,則f(x)g(x)在[a,b]上可積,且ba
(f(x)g(x))dxf(x)dxg(x)dx.aa
bb定理3(對積分區間的可加性)有界函式f(x)在[a,c],[c,b]上都可積的充要條件是
f(x)在[a,b]上可積,且ba
f(x)dxf(x)dxf(x)dx.ac
cb若f(x)0,則定理3的幾何意義是明顯的.它表示曲邊梯形面積的可加性,即
曲邊梯形aabb的面積等於曲邊梯形aacc的面積與曲邊梯形ccbb的面積之和.
根據定積分定義,記號ba
f(x)dx只有當ab時才有意義,當ab或ab時
本來是沒有意義的.但為了使用上的方便,對它特作如下規定規定1當ab時,令
規定2當ab且aa
f(x)dx0.ab
f(x)dx存在時,令
baf(x)dxf(x)dx.ba
有了這個規定之後,可以證明公式對a,b,c的任何順序都成立.定理4 (保號性)設f(x)與g(x)為定義在[a,b]上的兩個可積函式.若
f(x)g(x),x[a,b],則ba
f(x)dxg(x)dx.ab
定理5(有界性)設m,m分別是f(x)在[a,b]上的最小值和最大值.若f(x)在[a,b]上可積,則m(ba)ba
f(x)dxm(ba).
定理5可以看成是定理4的直接推論.它的幾何意義是,表示曲邊梯形aabb的面積介於a1abb1的面積之間.
定理6 (定積分的絕對值不等式)若f(x)在[a,b]上可積,則f(x)在[a,b]上也可積,且ba
f(x)dxf(x)dx.ab
定理7 (積分中值定理)若函式f(x)在[a,b]上連續,則在[a,b]至少存在一點,使得ba
f(x)dxf()(ba).
積分中值定理的幾何意義是明顯的:若f(x)在[a,b]上連續且非負,則f(x)在
[a,b]上的曲邊梯形面積,等於與該區邊梯形同底,以
1bf(x)dxaba
1bf(x)dx可以理解為f(x)在[a,b]上的平均值,它是有限為高的矩形面積.因而aba
f()個數的算術平均值的拓廣.
作業/課後反思
理論性強的內容，可數形結合地給學生以解釋，教學後記
以使其信並記住即可。
第六章定積分答案一
習題六 a 2 不計算積分，比較下列積分值的大小 1 與2 與 2 與 4 與 解 1 由定積分的比較性可知在範圍內，所以前者大於後者 2 由定積分的比較性可知在範圍內，所以前者小於後者 3 由定積分的比較性可知在範圍內，所以前者小於後者 4 由定積分的比較性可知在範圍，所以前者小於後者 3 用定積...
第六章定積分的應用總結
一 定積分的元素法 1 用定積分表示量的條件 如果量滿足 1 2 3那麼就可考慮用定積分表示這個量 2 寫出量的積分表示式的步驟 1 2 3二 平面圖形的面積 1 若平面圖形由連續曲線及直線所圍成，則其面積為 2 若平面圖形由連續曲線及直線所圍成，則其面積為 3 由連續曲線及兩射線圍成的曲邊扇形的面...
第六章定積分自測題
1.根據定積分的性質，說明下列積分哪乙個的值較大？1 與2 與 3 與 4 與。2 計算下列各導數 12 34 3.計算 12 34 56 78 設，求。4 求下列極限 12 5 設為連續函式，證明 6 求由下列各曲線所圍圖形的面積 1 及直線2 及直線 3 軸與直線 4 與直線及。7.求由曲線，x...