經院12級第六章習題課題解
微分中值定理與taylor定理
一、中值定理：
rolle中值定理：若滿足：在上連續，內可導，，則，使得.
lagrange中值定理：若滿足：在上連續，內可導，則，使得。
canchy 中值定理：若和滿足：在上連續，內可導，和不同時為零，，則，使得。
二、taylor定理：
1、若在點存在直至階導數，則
（稱此式為帶peano型餘項的階taylor公式）
特別：時，
2、若在上存在直至階的連續導函式，在內存在階導函式，則對任意給定的，至少存在一點使得：
（稱此式為常lagrange型餘項的階taylor 公式）
事實上，是在與之間的某個值，則
特別：時，
（稱此公式為常maclaurin餘項的階taylor公式）
三、利用rolle定理證明中值等式
為證明這類命題必須設法構造輔助函式，使得題中假設足以保證所構造的輔助函式具備rolle定理得的條件，然後由rolle定理得到輔助函式所滿足的中值等式，再由此式推出所要證的結果。找輔助函式常用的方法有兩種：
（1）湊導數法：將要證的結論改寫成乙個函式的導數在點處等於零的形式：。
例1：設在上連續，且。試證在內存在一點使得
證明：為證①式成立，即證，則需證，使得。為此建構函式：
顯然，在處連續。事實上，因
在上連續，在內可導，並且。於是，由rolle定理，，使，而
故，即例2：設和在上存在二階導數，且
，試證：
（1） 在(a,b)內；
（2） 在(a,b)內至少存在一點，使
證明：（1）（反證法）：假設存在點，使。對在和上分別使用rolle定理，存在使。再對在上使用rolle定理知，存在,使。這與條件矛盾。故。
（2）由於所證等式可寫為：
而於是，建構函式：
則在上連續，在內可導，並且，
故，由rolle定理，存在，使得，即
從而結論成立。
（ii）積分法：由於，則要找的輔助函式就是的原函式，而是已知的，因而求出的不定積分即可：
具體步驟：
1° 將待證的中值等式命題中的換成，得；
2° 通過適當的恒等變形將轉化為易於積分的形式（若需要）；
3° 兩邊積分求出原函式；
4° 解出任意常數。
則要求的輔助函式。
例3 設函式在[0,1]上連續，在內可導，且，求證：至少存在一點，使得。
證明：將改為得到，即得
為的一階線性齊次微分方程，於是
於是令，則在上連續，在內可導，且，由rolle定理知，存在使得，即
四、lagrange 中值定理理證明的應用
例1 設在上連續,在內可微，，則存在使得
證明：由於在上連續，且，則由連續函式的介值定理，存在，使得。分別在區間與上應用lagrange 中值定理：
存在，使
存在，使
即 。
例2 設在上可微，，則在上非一致連續。
證明：由於，則存在使得。現考慮在上的一致連續性。
（反證法）：假設在一致連續，則對於存在，使得當時，。
由於，則在上單增，於是，可推出（數學歸納法）：
。另一方面，取，使
，（lagrange定理）
則當時，
兩端除以後，令，得
這與矛盾，從而在上非一致連續。故在上非一致連續。
例3 設在上可微，，則。
證明：令在上，現證。
（反證） 假設，則由的連續性知。取，使得。下證在，（從而得出矛盾）。
，由lagrange中值定理，存在
使得同理可得：
於是，歸納推得：
則當時,這與假設矛盾,故。
(注:可考慮類似應用cauchy中值定理)
五、taylor公式的應用：
例1 設在上二階可導，且，，試證存在，使得
證明：設
則,.由fermat(費馬)定理知.將在點處taylor展開到二階餘項,有
而 若若
例2 設具有二階連續導數，，則
證明：設。，若，則
於是當時，同上類似可得：
故此命題得證。
第六章計畫習題
一 單項選擇題 1 根據計畫的明確性，可以把計畫分類為 a 長期計畫和短期計畫 b 戰略性計畫和戰術性計畫 c 具體性計畫和指導性計畫 d 程式性計畫和非程式性計畫 2 財務計畫和人事計畫與業務計畫的關係描述不正確的是 a 財務計畫和人事計畫是為業務計畫服務的 b 財務計畫和人事計畫是圍繞著業務計畫...
第六章習題答案
第六章梁的彎曲內力 習題6 1 a 求指定截面的內力。答題要點 1 計算2 2截面內力 a 用2 2在圖示位置截開桿件，取左段分析，左段截面上剪力和彎矩分別用q2 m2代替，受力圖如圖 a b 根據靜力平衡條件計算q2 m2值 fy 0 3kn m 2m q2 0 mc 0 3kn m 2m 1m ...
第六章測量誤差的基本知識習題課
1 鋼尺量距中，下列幾種情況使量得的結果產生誤差，試分別判定誤差的性質及符號。1 尺長不準確 2 尺不水平 3 估讀不準確 4 尺垂曲 5 尺端偏離直線方向 2 水準測量中，下列幾種情況使得水準尺讀數帶有誤差，試分別判定誤差的性質及符號。1 視准軸與水準軸不平行 2 儀器下沉 3 讀數不正確 4 水...