1.2. 第2課時充要條件習題課
一、選擇題
1．若非空集合a、b、c滿足a∪b＝c，且b不是a的子集，則( )
a．「x∈c」是「x∈a」的充分條件但不是必要條件
b．「x∈c」是「x∈a」的必要條件但不是充分條件
c．「x∈c」是「x∈a」的充要條件
d．「x∈c」既不是「x∈a」的充分條件，也不是「x∈a」的必要條件
[答案] b
[解析] ∵非空集合a、b、c滿足a∪b＝c，且ba，∴由x∈ax∈a∪bx∈c.
由x∈cx∈a∪bx∈a或x∈b.
∵ba，∴不一定有x∈a，∴選b.
2．(2010·廣東文，8)「x＞0」是「＞0」成立的( )
a．充分非必要條件
b．必要非充分條件
c．非充分非必要條件
d．充要條件
[答案] a
[解析] 本題考查了充要條件的判定問題，這類問題的判斷一般分兩個方向進行，x>0顯然能推出》0，而》0|x|>0x≠0，不能推出x>0，故選a.
3．「m＝」是「直線(m＋2)x＋3my＋1＝0與直線(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直」的( )
a．充分必要條件
b．充分而不必要條件
c．必要而不充分條件
d．既不充分也不必要條件
[答案] b
[解析] (m＋2)x＋3my＋1＝0與(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直的充要條件是(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，
即(m＋2)(4m－2)＝0.
∴m＝－2，或m＝.
故為充分不必要條件．
4．α，β是兩個不重合的平面，在下列條件中，可判定α∥β的是( )
a．α，β都平行於直線l，m
b．α內有三個不共線的點到β的距離相等
c．l，m是α內的兩條直線且l∥β，m∥β
d．l，m是兩條異面直線且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
[答案] d
[解析] a、c中l與m可能平行，b中三點位於兩平面交線的兩側時，如圖．
ab∥l，α∩β＝l，a與c到l的距離相等時，a、b、c到β的距離相等．
5．下列命題中的真命題有( )
①兩直線平行的充要條件是兩直線的斜率相等；
②△abc中，·<0是△abc為鈍角三角形的充要條件；
③2b＝a＋c是數列a、b、c為等差數列的充要條件；
④△abc中，tanatanb>1是△abc為銳角三角形的充要條件．
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
[答案] b
[解析] 兩直線平行不一定有斜率，①假．
由·<0只能說明∠abc為銳角，當△abc為鈍角三角形時，·的符號也不能確定，因為a、b、c哪乙個為鈍角未告訴，
∴②假；③顯然為真．
由tanatanb>1，知a、b為銳角，
∴sinasinb>cosacosb，
∴cos(a＋b)<0，即cosc>0.
∴角c為銳角，
∴△abc為銳角三角形．
反之若△abc為銳角三角形，則a＋b>，
∴cos(a＋b)<0，
∴cosacosb∵cosa>0，cosb>0，
∴tanatanb>1，故④真．
6．「a＋c>b＋d」是「a>b且c>d」的( )
a．必要不充分條件
b．充分不必要條件
c．充分必要條件
d．既不充分也不必要條件
[答案] a
[解析] 如a＝1，c＝3，b＝2，d＝1時，a＋c>b＋d，
但ab＋d」/ 「a>b且c>d」，
由不等式的性質可知，a>b且c>d，則a＋c>b＋d，
∴「a＋c>b＋d」是「a>b且c>d」的必要不充分條件．
7．「x>0」是「x≠0」的( )
a．充分而不必要條件
b．必要而不充分條件
c．充分必要條件
d．既不充分也不必要條件
[答案] a
[解析] x>0，則x≠0；反之，x≠0，不一定x>0.故選a.
8．「α＝＋2kπ(k∈z)」是「cos2α＝」的( )
a．充分而不必要條件
b．必要而不充分條件
c．充分必要條件
d．既不充分也不必要條件
[答案] a
[解析] 「α＝＋2kπ」(k∈z)「cos2α＝」
「cos2α＝」 「α＝＋2kπ」(k∈z)
因為α還可以等於2kπ－(k∈z)，∴選a.
9．條件p：「直線l在y軸上的截距是在x軸上截距的兩倍」；條件q：「直線l的斜率為－2」，則p是q的( )
a．充分不必要條件
b．必要不充分條件
c．充要條件
d．既不充分也不必要條件
[答案] b
[解析] 注意當直線經過原點時，兩個截距均為零，斜率值可以任意．
[點評] 涉及直線在兩軸上截距成倍數關係的題目，莫漏掉過原點的情形．
10．(09·浙江理)已知a，b是實數，則「a>0且b>0」是「a＋b>0且ab>0」的( )
a．充分而不必要條件
b．必要而不充分條件
c．充分必要條件
d．既不充分也不必要條件
[答案] c
[解析] 當a>0且b>0時， a＋b>0且ab>0；
當ab>0時，a，b同號，又a＋b>0，
∴a>0，且b>0.故選c.
二、填空題
11．平面向量a、b都是非零向量，a·b<0是a與b夾角為鈍角的________條件．
[答案] 必要不充分
[解析] 若a與b夾角為鈍角，則a·b<0，反之a·b<0時，如果a與b方向相反，則a與b夾角不是鈍角．
12．已知三條直線l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0，則l1、l2、l3構不成三角形的充要條件是k∈集合________．
[答案]
[解析] ①l1∥l3時，k＝5；②l2∥l3時，k＝－5；
③l1、l2、l3相交於同一點時，k＝－10.
13．函式f(x)的定義域為i，p：「對任意x∈i，都有f(x)≤m」．q：「m為函式f(x)的最大值」，則p是q的________條件．
[答案] 必要不充分
[解析] 只有當(1)對於任意x∈i，都有f(x)≤m，(2)存在x0∈i，使f(x0)＝m，同時成立時，m才是f(x)的最大值，故p/ q，qp，
∴p是q的必要不充分條件．
14．k>4，b<5是一次函式y＝(k－4)x＋b－5的圖象交y軸於負半軸，交x軸於正半軸的條件．
[答案] 充要
[解析] ∵k>4時，k－4>0，b<5時，b－5<0，
∴直線y＝(k－4)x＋b－5交y軸於負半軸，交x軸於正半軸；
y＝(k－4)x＋(b－5)與y軸交於(0，b－5)與x軸交於，由交y軸於負半軸，交x軸於正半軸可知，∴
三、解答題
15．已知命題p：|x－8|≤2，q： >0，r：x2－3ax＋2a2<0(a>0)．若命題r是命題p的必要不充分條件，且r是q的充分不必要條件，試求a的取值範圍．
[解析] 命題p即：6≤x≤10；命題q即：x>1；命題r即：a16．設x、y為實數，求證：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充分且必要條件是xy≥0.
[證明] 充分性：∵xy≥0
若x＝0或y＝0，|x＋y|＝|x|＋|y|顯然成立．
若xy>0，則x、y同號．
當x>0，y>0時，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y
∴|x＋y|＝|x|＋|y|
若x<0，y<0時，|x＋y|＝－x－y，|x|＋|y|＝－x－y
∴|x＋y|＝|x|＋|y|
∴綜上所述，知xy≥0|x＋y|＝|x|＋|y|
必要性：∵|x＋y|＝|x|＋|y|，兩邊平方得
x2＋y2＋2xy＝x2＋y2＋2|xy|
∴xy＝|xy|，∴xy≥0
∴|x＋y|＝|x|＋|y|xy≥0
∴xy≥0是|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件．
17．方程y＝a|x|與y＝x＋a(a>0)所確定的曲線有兩個交點的充要條件是什麼？
[解析] 解法一：依題意有，即a|x|＝x＋a，當x>0時，x＝>0，解得a>1或a<0(舍)；
當x<0時，x＝<0，解得a>0或a<－1(舍)．
∴兩曲線y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)有兩個交點的充要條件是a>1.
解法二：如圖所示，數形結合可知a>1成立．
18．設α、β是方程x2－ax＋b＝0的兩個實根，試分析a>2且b>1是兩根α、β均大於1的什麼條件？
[分析] 把充要條件和方程中根與係數的關係問題相聯絡，解題時需要搞清楚條件p與結論q分別指什麼，然後再驗證pq還是qp，還是pq.
[解析] 根據韋達定理得a＝α＋β，b＝αβ，判定的條件是p：結論是q： (還要注意條件中需要滿足大前提δ＝a2－4b≥0)
(1)由得a＝α＋β>2，b＝αβ>1，∴qp.
(2)為了說明p/q，可以舉出反例：取α＝4，β＝，它滿足a＝α＋β＝4＋>2，b＝α·β＝4×＝2>1，且滿足δ>0，但q不成立．
由上述討論可知：a>2且b>1是α>1，β>1的必要但不充分條件．
充要條件習題
高二數學選修1 1 編號 sx 10 02 032 3.1.3 充分條件與必要條件 導學案 編寫 徐聖國審核 楊傳寶編寫時間 2010.9.15 班級組名姓名 一 選擇題 1.若命題 若p則q 為真，則 a.b.c.d.2.乙個整數的末位數字是2，是這個數能被2整除的 a.充分不必要條件 b.必要不...
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