一、選擇題(共8道小題，每小題4分，共32分)
1．若方程x2－5x＝0的乙個根是a，則a2－5a＋2的值為( )
a．－2 b．0 c．2 d．4
2．如圖1，⊙o的半徑oa等於5，半徑oc與弦ab垂直，垂足為d，若od＝3，則弦ab的長為( )
a．10 b．8 c．6 d．4
圖1圖2圖3
3．將拋物線y＝2x2經過怎樣的平移可得到拋物線y＝2(x＋3)2＋4?( )
a．先向左平移3個單位，再向上平移4個單位
b．先向左平移3個單位，再向下平移4個單位
c．先向右平移3個單位，再向上平移4個單位
d．先向右平移3個單位，再向下平移4個單位
4．小莉站在離一棵樹水平距離為a公尺的地方，用一塊含30°的直角三角板按如圖2所示的方式測量這棵樹的高度，已知小莉的眼睛離地面的高度是1.5公尺，那麼她測得這棵樹的高度為( )
a． b．
c． d．
5．如圖3，以某點為位似中心，將△aob進行位似變換得到△cde，記△aob與△cde對應邊的比為k，則位似中心的座標和k的值分別為( )
a．(0，0)，2 b．
c．(2，2)，2 d．(2，2)，3
6．將拋物線y＝x2＋1繞原點o族轉180°，則族轉後的拋物線的解析式為：( )
a．y＝－x2 b．y＝－x2＋1
c．y＝x2－1 d．y＝－x2－1
7．如圖4，pa、pb與⊙o相切，切點分別為a、b，pa＝3，∠p＝60°，若ac為⊙o的直徑，則圖中陰影部分的面積為( )
a． bc． d．
圖4圖5圖6
8．已知b>0時，二次函式y＝ax2＋bx＋a2－1的圖象如下列四個圖之一所示．
根據圖分析，a的值等於( )
a．－2 b．－1 c．1 d．2
二、填空題(共4道小題，每小題4分，共16分)
9．若△abc∽△def，且對應邊bc與ef的比為2∶3，則△abc與△def的面積等於______．
10．如圖5，⊙o的直徑是ab，cd是⊙o的弦，基∠d＝70°，則∠abc等於______．
11．如圖6，∠abc＝90°，o為射線bc上一點，以點o為圓心，長為半徑作⊙o，將射線ba繞點b按順時針方向旋轉至ba＇，若ba＇與⊙o相切，則旋轉的角度α(0°＜α＜180°)等於______．
12．等腰△abc中，bc＝8，若ab、ac的長是關於x的方程x2－10x＋m＝0的根，則m的值等於______．
三、解答題(本題共29分，第13～17題每小題5分，第18題4分)
13．解方程：2x2－6x＋1＝0．
14．計算：
15．已知：關於x的方程x2＋2x＝3－4k有兩個不相等的實數根(其中k為實數)．
(1)求k的取值範圍；
(2)若k為非負整數，求此時方程的根．
16．已知：如圖，ab是⊙o的直徑，bc是弦，∠b＝30°，延長ba到d，使∠adc＝30°．
(1)求證：dc是⊙o的切線；
(2)若ab＝2，求dc的長．
17．已知：如圖，△abc中，ab＝2，bc＝4，d為bc邊上一點，bd＝1．
(1)求證：△abd∽△cba；
(2)若de∥ab交ac於點e，請再寫出另乙個與△abd相似的三角形，並直接寫出de的長．
18．已知：如圖，∠man＝45°，b為am上的乙個定點．若點p在射線an上，以p為圓心，pa為半徑的圓與射an的另乙個交點為c．請確定⊙p的位置，使bc恰與⊙p相切．
(1)畫出⊙p；(不要求尺規作圖，不要求寫畫法)
(2)鏈結bc、bp並填空：
①∠abc＝______°；
②比較大小：∠abp______∠cbp．(用「＞」、「＜」或「＝」連線)
四、解答題(本題共21分，第19題6分，第20題4分，第21題6分，第22題5分)
19．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點a(0，3)、b(4，3)、c(1，0)．
(1)填空：拋物線的對稱軸為直線x＝______，拋物線與x軸的另乙個交點d的座標為______；
(2)求該拋物線的解析式．
20．已知：如圖，等腰△abc中，ab＝bc，ae⊥bc於e，ef⊥ab於f，若ce＝2，，求ef的長．
21．某水果批發市場經銷一種水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．經市場調查發現，在進貨價不變的情況下，若每千克這種水果在原售價的基礎上每漲價1元，日銷售量將減少20千克．
(1)如果市場某天銷售這種水果盈利了6 000元，同時顧客又得到了實惠，那麼每千克這種水果漲了多少元?
(2)設每千克這種水果漲價x元時(0＜x≤25)，市場每天銷售這種水果所獲利潤為y元．若不考慮其它因素，單純從經濟角度看，每千克這種水果漲價多少元時，市場每天銷售這種水果盈利最多?最多盈利多少元?
22．已知：如圖，△abc中，ab＝3，∠bac＝120°，ac＝1，d為ab延長線上一點，bd＝1，點p在∠bac的平分線上，且滿足△pad是等邊三角形．
(1)求證：bc＝bp；(2)求點c到bp的距離．
五、解答題(本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分)
23．已知關於x的方程x2－2ax－a＋2b＝0，其中a、b為實數．
(1)若此方程有乙個根為2a(a＜0)，判斷a與b的大小關係並說明理由；
(2)若對於任何實數a，此方程都有實數根，求b的取值範圍．
24．已知：如圖，⊙o的內接△abc中，∠bac＝45°，∠abc＝15°，ad∥oc並交bc的延長線於d，oc交ab於e．
(1)求∠d的度數；(2)求證：ac2＝ad·ce；(3)求的值．
25．已知：拋物線與x軸交於點a(x1，0)、b(x2，0)，且x1＜1＜x2．
(1)求a、b兩點的座標(用a表示)；
(2)設拋物線的頂點為c，求△abc的面積；
(3)若a是整數，p為線段ab上的乙個動點(p點與a、b兩點不重合)，在x軸上方作等邊△apm和等邊△bpn，記線段mn的中點為q，求拋物線的解析式及線段pq的長的取值範圍．
參***
一、選擇題（共8個小題，每小題4分，共32分)
二、填空題(共4個小題，每小題4分，共16分)
三、解答題(本題共29分，第13～17題每小題5分，第18題4分)
13．解：因為a＝2，b＝－6，c＝11分
所以b2－4ac＝(－6)2－4×2×1＝282分
代入公式，得3分
所以原方程的根為(每個根各1分) 5分
14．解：
4分5分
15．(1)解一：原方程可化為(x＋1)2＝4－4k1分
∵該方程有兩個不相等的實數根，
∴4－4k＞02分
解得k＜1．
∴k的取值範圍是k＜13分
解二：原方程可化為x2＋2x＋4k－3＝01分
＝22－4(4k－3)＝4(4－4k)．以下同解法一．
(2)解：∵k為非負整數，k＜1，
∴k＝04分
此時方程為x2＋2x＝3，它的根為x1＝－3，x2＝15分
16．(1)證明：鏈結oc．
∵ob＝oc，∠b＝30°，
∴∠ocb＝∠b＝30°．
∴∠cod＝∠b＋∠cob＝601分
∵∠bdc＝30°，
∴∠bdc＋∠cod＝90°，dc⊥oc2分
∴bc是弦，
∴點c在⊙o上．
∴dc是⊙o的切線3分
(2)解：∵ab＝2，
4分∵在rt△cod中，∠ocd＝90°，∠d＝30°，
5分17．(1)證明：∵ab＝2，bc＝4，bd＝1，
1分∵∠abd＝∠cba2分
∴△abd∽△cba3分
(2)答：△abd∽△cde4分
de＝ 1.55分
18．解：(1)圖形見下2分
(2)①∠abc＝ 453分
②∠abp ＜ ∠cbp4分
四、解答題(本題共21分，第19題6分，第20題4分，第21題6分，第22題5分)
19．解：(1)拋物線的對稱軸為直線x＝ 2 ，拋物線與x軸的另乙個交點d的座標為(3，02分
(2)∵拋物線經過點c(1，0)、d(3，0)，
∴設拋物線的解析式為y＝a(x－1)(x－34分
由拋物線經過點a(0，3)，得a＝15分
∴拋物線的解析式為y＝x2－4x＋36分
20．解：∵ae⊥bc，ef⊥ab，
∴∠1＋∠2＝90°，∠b＋∠2＝90°．
∴∠1＝∠b1分
∴∴rt△abe中2分
設be＝4k，則ab＝bc＝5k，ec＝bc－be＝k＝2．
∴be＝83分
∴rt△bef中4分
21．解：(1)設市場某天銷售這種水果盈利了6 000元，同時顧客又得到了實惠時，
每千克這種水果漲了x元．
由題意得(10＋x)(500－20x)＝60001分
整理，得x2－15x＋50＝0．
解得x1＝5，x2＝102分
因為顧客得到了實惠，應取x＝53分
答：市場某天銷售這種水果盈利6 000元，同時顧客又得到了實惠時，每千克這種水果漲了5元．
(2)因為每千克這種水果漲價x元時，市場每天銷售這種水果所獲利潤為y元，y關於x的函式解析式為y＝(10＋x)(500－20x)(0＜x≤254分
而y＝(10＋x)(500－20x)＝－20x2＋300x＋5000＝－20(x－7.5)2＋6125．
所以，當x＝7．5時(0＜7．5≤25)，y取得最大值，最大值為6 125．
6分答：不考慮其他因素，單純從經濟角度看，每千克這種水果漲價7.5元時，市場每天銷售這種水果盈利最多，最多盈利6 125元．
22．(1)證明：如圖1，鏈結pc1分
圖1∵ac＝1，bd＝1， ∴ac＝bd．
∵∠bac＝120°，ap平分∠bac，
∵△pad是等邊三角形，
∴pa＝pd，∠d＝60°．
∴∠1＝∠d．
∴△pac≌△pdb2分
∴pc＝pb，∠2＝∠3．
∴∠2＋∠4＝∠3＋∠4，∠bpc＝∠dpa＝60°．
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