第四節一階隱式微分方程與引數表示
一、一階隱式微分方程
一階顯式微分方程：。
一階隱式微分方程的一般形式可表示為:。
如果能解出,則可化為顯式形式,根據前面的知識求解。
但難以從方程中解出,或即使解出,而其形式比較複雜,則宜採用引進引數的方法求解.
一般隱式方程分為以下四種型別:
1) 2) 3) 4)
二、求解方法
1 可以解出（或）的方程
1) 討論形如
2.62）
的方程的解法，假設函式有連續的偏導數。
引進引數,則方程(2.62)變為
2.63)
將(2.63)兩邊對求導數,得到
2.64)
方程(2.64)是關於的一階微分方程,而且屬於顯式形式，可以解出，可求解。
若求得(2.64)的通解形式為,將其代入(2.63),於是得到(2.62)通解為
若求得(2.64)的通解形式為,於是得到(2.62)的引數形式的通解為
其中為引數,是任意常數.
若求得(2.64)的通解形式為,於是得到(2.62)的引數形式的通解為
其中為引數,是任意常數.
例1 求方程的解
解: 解出,令得
2.65)
兩端關於求導得
或當時,上式有積分因子,從而
由此可知
得到將其代入(2.65),即得
故引數形式的通解為
是任意常數
當時,由(2.65)可知也是方程的解.
例2 求方程的解。
解: 令得（*） 兩端關於求導
得 或,
由，得代入（*）得通解為
是任意常數 (2.67)
又從得，代入（*）得.
此解與通解(2.67)中的每一條積分曲線均相切, 因此稱為方程的奇解.
2） 形如方程的解法。
令，則，兩端關於求導有，（）。
此為關於的一階微分方程，且已解出，可求解。
若求得通解形式為,得到原方程通解為
若求得通解形式為,得到原方程通解為
其中為引數,是任意常數.
若求得通解形式為,得到原方程通解為。
當時，求滿足的解。
例3 求方程的解。（例1）
解: 解出,令得兩端關於求導
得 或。
得，求得, ,
得引數形式通解為. ，是任意常數
當時,為原方程的解.
2 不顯含（或）的方程
1）形如方程的解法。
令，則，寫成適當引數形式
為引數，
又得，積分有，
得方程引數形式通解為，是任意常數。
例4 求解方程
解：令得
從而於是
積分之，得
得引數形式通解為
2）形如方程的解法。
令，則，寫成適當引數形式
為引數，
又得，積分有，。
得方程引數形式通解為。
此外，若有實根，則也是方程的解。
例5 求解方程
解：令，得
由此得並且
從而得得引數形式通解為
消去引數得其中為任意常數.
此外, 當時原方程變為,於是也是方程的解.
練習 p70 1 （1）用兩種方法求解
（1）、
解法1：解出,令得
兩端關於求導
得 或，
得，得引數形式通解為，是任意常數。
解法2：令，，則，
於是積分之，得
得引數形式通解為，， 為任意常數。
令，則，，
於是積分之，得
得引數形式通解為，， 為任意常數。
作業：p70 1 （2），（3），（5），（6）
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