高二數學選修2－1圓錐曲線小結理人教實驗b版
【本講教育資訊】
一、教學內容：
選修2－1：圓錐曲線小結（第二章：第2.2，2.3，2.4節）
二、教學目標：
1、掌握圓錐曲線的定義，標準方程，能根據條件利用待定係數法求其方程，掌握其幾何性質。
2、能根據方程討論曲線的性質，掌握直線與圓錐曲線的位置關係的判斷方法，能夠正確熟練地解決有關直線和圓錐曲線的位置關係的一些問題。
三、知識要點分析：
1、知識框圖：
2、知識歸納：
拋物線：
3、橢圓的性質：橢圓方程
（1）範圍：，橢圓落在組成的矩形中。
（2）對稱性：圖象關於y軸對稱，圖象關於x軸對稱，圖象關於原點對稱。
（3）頂點：橢圓和對稱軸的交點叫做橢圓的頂點
橢圓共有四個頂點：，。
叫橢圓的長軸，長為2a，叫橢圓的短軸，長為2b。
（4）離心率：橢圓焦距與長軸長之比。。（）
（5）橢圓的準線方程
對於，左準線；右準線
對於，下準線；上準線
焦點到準線的距離（也叫焦引數）
4、雙曲線的幾何性質：
（1）頂點
頂點：，特殊點：
實軸：長為2a，a叫做實半軸長。虛軸：長為2b，b叫做虛半軸長。
雙曲線只有兩個頂點，而橢圓則有四個頂點，這是兩者的又一差異。
（2）漸近線
雙曲線的漸近線（）
（3）離心率
雙曲線的焦距與實軸長的比，叫做雙曲線的離心率範圍：e>1
（4）等軸雙曲線
定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。
等軸雙曲線的性質：a、漸近線方程為：；
b、漸近線互相垂直；
c、離心率。
（5）共漸近線的雙曲線系：如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那麼此雙曲線方程寫成。
（6）共軛雙曲線
以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線。
（7）雙曲線的準線方程：
對於來說，左準線，右準線；
對於來說，下準線；上準線。
焦點到準線的距離（也叫焦引數）。
5、拋物線的幾何性質
（1）頂點：拋物線的頂點就是座標原點。
（2）離心率： 拋物線上的點m與焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示。由拋物線的定義可知，e＝1。
6、判斷直線與圓錐曲線的位置關係時，通常將直線的方程（a、b不同時為0）代入圓錐曲線的方程。消去（也可以消去）得到乙個關於變數（或者變數）的一元二次方程。
即，消去後的。
（1）當時，則有，直線與曲線相交；，直線與曲線相切；，直線與曲線相離。
（2）當時，即得到乙個一次方程，則與相交，且只有乙個交點，此時，若為雙曲線，則直線與雙曲線的漸近線是平行；若為拋物線，則直線與拋物線的對稱軸的位置關係是平行。
【典型例題】
例1. 已知橢圓及直線.
（1）當為何值時，直線與橢圓有公共點？
（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程.
分析：直線與橢圓有公共點，等價於它們的方程組成的方程組有解. 因此，只須考慮方程組消元後所得的一元二次方程的根的判別式. 已知弦長，由弦長公式就可求出.
解：（1）把直線方程代入橢圓方程得
，即.，解得.
（2）設直線與橢圓的兩個交點的橫座標為，，
由（1）得，.
根據弦長公式得
. 解得.
因此，所求直線的方程為.
說明：處理有關直線與橢圓的位置關係問題及有關弦長問題，採用的方法與處理直線和圓的有所區別. 這裡解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應用弦長公式.
用弦長公式，若能合理運用韋達定理（即根與係數的關係），可大大簡化運算過程.
例2. 直線與雙曲線相交於、兩點. 當為何值時，以為直徑的圓經過座標原點.
解：由方程組：得
因為直線與雙曲線交於、兩點 ∴
解得.設，，則：，，
而以為直徑的圓過原點，則，
∴. .
於是，即.
解得滿足條件.
故當時，以為直徑的圓過原點.
例3. 斜率為1的直線經過拋物線的焦點，與拋物線相交於兩點、，求線段的長。
解法一：由拋物線的標準方程可知，焦點 ，準線方程 .
由題設，直線的方程為：.①
將①代入拋物線方程 ，整理得： .
解上述方程得： ，
分別代入直線方程得：
即座標分別為 、 .
解法二：設 ， ，則：
＝8解法三：設 、 b（x2，y2）. 由拋物線定義可知，等於點到準線的距離. 即同理
點撥：（1）解法一利用傳統的基本方法求出兩點座標，再利用兩點間距離公式求出的長。解法二沒有利用直線求出座標。
而是利用韋達定理找到與的關係，利用直線截二次曲線的弦長公式求得，這是典型的設而不求思想，方法比解法一先進，解法三充分利用拋物線的定義，把過焦點的這一特殊的弦分成兩個半徑的和，轉化為準線的距離，這是思維質的飛躍。
（2）拋物線上一點到焦點的距離這就是拋物線的焦半徑公式。焦點弦長
例4. 若直線與拋物線交於a、b兩點，且ab中點的橫座標為2，求此直線方程.
分析：由直線與拋物線相交利用韋達定理列出k的方程求解. 另由於已知與直線斜率及弦中點座標有關，故也可利用「作差法」求k.
解法一：設、，則由：
可得：∵直線與拋物線相交，
且，則∵ab中點橫座標為：
解得： 或（捨去）
故所求直線方程為：
解法二：設 、，則有
兩式作差解：，
即故或（捨去）
則所求直線方程為：
例5. （1）設拋物線被直線截得的弦長為，求k值.
（2）以（1）中的弦為底邊，以x軸上的點p為頂點作三角形，當三角形的面積為9時，求p點座標.
分析：（1）題可利用弦長公式求k，（2）題可利用面積求高，再用點到直線距離求p點座標.
解：（1）由得：
設直線與拋物線交於與兩點. 則有：
，即（2），底邊長為 ，
∴三角形高
∵點p在x軸上，∴設p點座標是
則點p到直線的距離就等於h，即
或 ，即所求p點座標是（－1，0）或（5，0）.
本講涉及的數學思想、方法：
圓錐曲線將幾何與代數進行了結合，高考中是重點，主客觀題必不可少，易、中、難題皆有。重點掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義和性質，重視求曲線的方程或曲線的軌跡，加強直線與圓錐曲線的位置關係問題的**。這類問題常涉及到圓錐曲線的性質和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直問題，因此分析問題時利用數形結合思想和設而不求法與弦長公式及韋達定理聯絡去解決，這樣加強了對數學各種能力的考查，重視對數學思想、方法進行歸納提煉，達到優化解題思維、簡化解題過程的目的。
預習導學案
（空間向量及其運算）
一、預習前知
1、空間向量的概念是什麼？
2、空間向量的基本定理是什麼？
二、預習導學
**反思
**反思的任務： 空間向量的概念，共線向量定理，共面向量定理，空間向量基本定理，空間向量的數量積，夾角和距離公式
1、在空間中，具有________和_________的量叫做空間向量，其大小叫做向量的_______或_______.
2、（1）共線向量定理：對於空間任意兩個向量a，b（b≠0），a∥b的充要條件是存在實數，使
（2）共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在實數對x，y，使p
3、空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那麼對空間任一向量p，存在唯一的有序實陣列x，y，z，使p
4、空間向量的數量積：實數叫做向量a，b的數量積，記作，即
5、定理：如果向量a，b，c不共面，那麼對空間_______向量p，存在有序實陣列x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.
6、平面向量的直角座標運算可以全部推廣到空間
設a＝，b＝，則
a＋ba－b
aa∥b
a⊥b7、夾角和距離公式
【模擬試題】（答題時間：90分鐘）
一、選擇題
1、橢圓的兩焦點把兩準線間的距離三等分，則這個橢圓的離心率是 （）
a. b. c. d. 以上都不對
2、過拋物線的焦點作直線交拋物線於a（，），b（，），若，則ab的中點c到拋物線準線的距離為（ ）
a. 5 b. 4c. 3d. 2
3、已知、是拋物線上兩點，為原點，若，且的重心恰為拋物線的焦點，則的直線方程為（ ）
a. bcd.
*4、若ab為拋物線（）的焦點弦，是拋物線的準線，則以ab為直徑的圓與的公共點的個數是（ ）
a. 0 b. 1c. 2d. 0或1或2
5、拋物線到直線距離最近的點的座標為（ ）
abcd.
*6、曲線與直線有兩個交點時，實數a的取值範圍是（ ）
ab.cd.
二、填空題
7、若，則方程的解的個數是個。
*8、設雙曲線的半焦距為，直線過兩點，已知原點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為
*9、過a（1，0）且與拋物線僅有乙個公共點的直線方程為
三、計算題
10、求與橢圓相交於、兩點，並且線段的中點為的直線方程.
*11、已知橢圓的焦點分別是、，過中心作直線與橢圓相交於、兩點，若要使的面積是20，求該直線方程.
**12、以橢圓的焦點為焦點，過直線上一點作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點應在何處？並求出此時的橢圓方程. 【試題答案】
高中數學圓錐曲線小結論
橢圓1.點p處的切線pt平分 pf1f2在點p處的外角.2.pt平分 pf1f2在點p處的外角，則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3.以焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相離.4.以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.5.若在橢圓上，則過的橢圓的切...
高中數學圓錐曲線知識點
一 橢圓方程.1.橢圓方程的第一定義 橢圓的標準方程 i.中心在原點，焦點在x軸上 ii.中心在原點，焦點在軸上 一般方程 橢圓的標準方程 的引數方程為 一象限應是屬於 頂點 或.軸 對稱軸 x軸，軸 長軸長，短軸長.焦點 或.焦距 準線 或.離心率 焦點半徑 橢圓焦半徑公式 橢圓的的內外部 1 點...
高中數學圓錐曲線總結版
解圓錐曲線問題常用方法 橢圓與雙曲線的經典結論 橢圓與雙曲線的對偶性質總結 解圓錐曲線問題常用以下方法 1 定義法 1 橢圓有兩種定義。第一定義中，r1 r2 2a。第二定義中，r1 ed1 r2 ed2。2 雙曲線有兩種定義。第一定義中，當r1 r2時，注意r2的最小值為c a 第二定義中，r1 ...