要點一、正方形的定義
四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.
要點詮釋：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有乙個角是直角的菱形.
要點二、正方形的性質
正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質.
1.邊——四邊相等、鄰邊垂直、對邊平行；
2.角——四個角都是直角；
3.對角線——①相等，②互相垂直平分，③每條對角線平分一組對角；
4.是軸對稱圖形，有4條對稱軸；又是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心.
要點詮釋：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質，其對角線將正方形分為四個等腰直角三角形.
要點三、正方形的判定
正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有乙個角是直角或對角線相等（即矩形）；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或對角線互相垂直（即菱形）
要點四、特殊平行四邊形之間的關係
或者可表示為：
要點五、順次連線特殊的平行四邊形各邊中點得到的四邊形的形狀
（1）順次連線平行四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形.
（2）順次連線矩形各邊中點得到的四邊形是菱形.
（3）順次連線菱形各邊中點得到的四邊形是矩形.
（4）順次連線正方形各邊中點得到的四邊形是正方形.
要點詮釋：新四邊形由原四邊形各邊中點順次連線而成.
（1）若原四邊形的對角線互相垂直，則新四邊形是矩形.
（2）若原四邊形的對角線相等，則新四邊形是菱形.
（3）若原四邊形的對角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.
型別一、正方形的性質
1、如圖，在一正方形abcd中．e為對角線ac上一點，連線eb、ed，
（1）求證：△bec≌△dec；
（2）延長be交ad於點f，若∠deb＝140°．求∠afe的度數．
答案與解析舉一反三
【思路點撥】先由正方形的性質得出cd=cb，∠dca=∠bca，根據sas證出△bec≌△dec，再由全等三角形的對應角相等得出∠dec=∠bec=70°，然後根據對頂角相等求出∠aef，根據正方形的性質求出∠dac，最後根據三角形的內角和定理即可求出∠afe的度數．
【答案與解析】
（1）證明：∵四邊形abcd是正方形，
∴cd＝cb，∠dca＝∠bca，
∵ce＝ce，
bec≌△dec．
（2）解：∵∠deb＝140°，
∵△bec≌△dec，
∴∠dec＝∠bec＝70°，
∴∠aef＝∠bec＝70°，
∵∠dab＝90°，
∴∠dac＝∠bac＝45°，
∴∠afe＝180°－70°－45°＝65°．
答：∠afe的度數是65°．
【總結昇華】本題主要考查對正方形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，對頂角等知識點的理解和掌握，能熟練地運用這些性質進行推理是解此題的關鍵.
【變式1】已知：如圖，e為正方形abcd的邊bc延長線上的點，f是cd邊上一點，且ce＝cf，連線de，bf．
求證：de＝bf．
答案與解析
【答案】
證明：∵四邊形abcd是正方形，
∴bc＝dc，∠bcd＝90°
∵e為bc延長線上的點，
∴∠dce＝90°，
∴∠bcd＝∠dce．
在△bcf和△dce中，
，∴△bcf≌△dce（sas），
∴bf＝de．
【變式2】如圖，在正方形abcd的外側，作等邊三角形ade，連線be，則∠aeb的度數為（ ）
a．10° b．15° c．20° d．12.5°
答案與解析
【答案】b；
提示：根據等邊三角形和正方形的性質可知ab＝ae，∴∠bae＝90°＋60°＝150°，
∴∠aeb＝（180°－150°）÷2＝15°.
2、如圖，四邊形abcd是邊長為2的正方形，點g是bc延長線上一點，連線ag，點e、f分別在ag上，連線be、df，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
（1）證明：△abe≌△daf；
（2）若∠agb＝30°，求ef的長．
答案與解析舉一反三
【思路點撥】要證明△abe≌△daf，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，只要證一條邊對應相等即可．要求ef的長，需要求出af和ae的長．
【答案與解析】
（1）證明：∵四邊形abcd是正方形，
∴ad＝ab，
1＝∠2，∠3＝∠4，
daf≌△abe．
（2）解：∵四邊形abcd是正方形，∠agb＝30°，
∴ad∥bc，
∴∠1＝∠agb＝30°，
∵∠1＋∠4＝∠dab＝90°，
∵∠3＝∠4，
∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠afd＝180°－（∠1＋∠3）＝90°，
∴df⊥ag，
∴df＝
∴af＝
∵△abe≌△daf，
∴ae＝df＝1，
∴ef＝
【總結昇華】通過證三角形全等得到邊和角相等，是有關四邊形中證邊角相等的最常用的方法．而正方形的四條邊相等，四個角都是直角為證明三角形全等提供了條件．
【變式】如圖，a、b、c三點在同一條直線上，ab＝2bc，分別以ab，bc為邊做正方形abef和正方形bcmn連線fn，ec．求證：fn＝ec．
答案與解析
【答案】
證明：在正方形abef中和正方形bcmn中，
ab＝be＝ef，bc＝bn，∠fen＝∠ebc＝90°，
∵ab＝2bc，即bc＝bn＝
∴bn＝，即n為be的中點，
∴en＝nb＝bc，
∴△fne≌△ecb，
∴fn＝ec．
型別二、正方形的判定
3、如圖所示，在rt△abc中，∠c＝90°，∠bac、∠abc的平分線相交於點d，且de⊥bc於點e，df⊥ac於點f，那麼四邊形cedf是正方形嗎?請說明理由．
答案與解析舉一反三
【答案與解析】
解：是正方形，理由如下：
作dg⊥ab於點g．
∵ ad平分∠bac，df⊥ac，dg⊥ab，
∴ df＝dg．
同理可得：dg＝de．∴ df＝de．
∵ df⊥ac，de⊥bc，∠c＝90°，
∴ 四邊形cedf是矩形．
∵ df＝de．
∴ 四邊形cedf是正方形．
【總結昇華】(1)本題運用了「有一組鄰邊相等的矩形是正方形」來判定正方形．(2)證明正方形的方法還可以直接通過證四條邊相等加乙個直角或四個角都是直角來證明正方形．
【變式】如圖，點o是線段ab上的一點，oa＝oc，od平分∠aoc交ac於點d，of平分∠cob，
cf⊥of於點f．
（1）求證：四邊形cdof是矩形；
（2）當∠aoc多少度時，四邊形cdof是正方形？並說明理由．
答案與解析
【答案】
（1）證明：∵od平分∠aoc，of平分∠cob（已知），
aoc＝2∠cod，∠cob＝2∠cof，
aoc＋∠boc＝180°，
∴2∠cod＋2∠cof＝180°，
cod＋∠cof＝90°，
dof＝90°；
∵oa＝oc，od平分∠aoc（已知），
∴od⊥ac，ad＝dc（等腰三角形的「三線合一」的性質），
cdo＝90°，
∵cf⊥of，
cfo＝90°
∴四邊形cdof是矩形；
（2）當∠aoc＝90°時，四邊形cdof是正方形；理由如下：
∵∠aoc＝90°，ad＝dc，
∴od＝dc；
又由（1）知四邊形cdof是矩形，則
四邊形cdof是正方形；
因此，當∠aoc＝90°時，四邊形cdof是正方形．
型別三、正方形綜合應用
4、如圖，在平面直角座標系中，邊長為(為大於0的常數)的正方形abcd的對角線ac、bd相交於點p，頂點a在軸正半軸上運動，頂點b在軸正半軸上運動(軸的正半軸、軸的正半軸都不包含原點o)，頂點c、d都在第一象限．
（1）當∠bao＝45°時，求點p的座標；
（2）求證：無論點a在軸正半軸上、點b在軸正半軸上怎樣運動，點p都在∠aob的平分線上；
答案與解析
【答案與解析】
解：（1）當∠bao＝45°時，∠pao＝90°，
在rt△aob中，oa＝ab＝，在rt△apb中，pa＝ab＝．
∴ 點p的座標為．
（2）如圖過點p分別作軸、軸的垂線垂足分別為m、n，
則有∠pma＝∠pnb＝∠npm＝∠bpa＝90°，
∵∠bpn＋∠bpm＝∠apm＋∠bpm＝90°
∴∠apm＝∠bpn，又pa＝pb，
∴ △pam≌△pbn，
∴ pm＝pn，
又∵ pn⊥on，pm⊥om
於是，點p在∠aob的平分線上.
【總結昇華】根據題意作出輔助線，構造全等的直角三角形是解題關鍵.
鞏固練習
一.選擇題
1. 正方形是軸對稱圖形，它的對稱軸共有（ ）
a．1條 b．2條 c．3條 d．4條
2. 下列說法中，不正確的是（ ）
a. 有三個角是直角的四邊形是矩形 b. 對角線相等的四邊形是矩形
c. 對角線互相垂直的矩形是正方形 d. 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
3. 如圖，正方形abcd的邊長為4，則圖中陰影部分的面積為( )．
a. 6 b. 8 c. 16 d. 不能確定
4. 順次鏈結對角線互相垂直的四邊形各邊的中點，所得的四邊形是 ( )
a. 矩形 b. 菱形 c. 正方形 d. 梯形
5.（2012天津）如圖，在邊長為2的正方形abcd中，m為邊ad的中點，延長md至點e，使me＝mc，以de為邊作正方形defg，點g在邊cd上，則dg的長為（ ）
a． b. c. d.
6.（2012瀋陽）如圖，正方形abcd中，對角線ac，bd相交於點o，則圖中的等腰三角形有（ ）
a．4個 b．6個 c．8個 d．10個
二.填空題
7．若正方形的邊長為，則其對角線長為______，若正方形acef的邊是正方形abcd的對角線，則正方形acef與正方形abcd的面積之比等於______．
8. 如圖，在四邊形abcd中，ab＝bc＝cd＝da，對角線ac與bd相交於點o，若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形abcd是正方形，則還需增加乙個條件是
9. 如圖，將邊長為2的正方形abcd沿其對角線ac剪開，再把△abc沿著ad方向平移，得到△，若兩個三角形重疊部分的面積是1，則它移動的距離等於____.
10. 如圖，邊長為2的正方形abcd的對角線相交於點o，過點o的直線分別交ad、bc於e、f，則陰影部分的面積
是_______.
11. 如圖．邊長為1的兩個正方形互相重合，按住其中乙個不動，將另乙個繞頂點a順時針旋轉45°，則這兩個正方形重疊部分的面積是______．
12.（2012宜賓）如圖，已知正方形abcd的邊長為1，連線ac、bd，ce平分∠acd交bd於點e，則de＝_______.
三.解答題
13．已知：如圖，正方形abcd中，點e、m、n分別在ab、bc、ad邊上，ce＝mn，∠mce＝35°，求∠anm的度數．
（2）bf＝ce．
15．如圖，邊長為3的正方形abcd繞點c按順時針方向旋轉30°後，得到正方形efcg，ef交ad於h，求dh的長．
1 3正方形的性質與判定 2
課題 1.3正方形的性質與判定 2 學習目標 1.經歷探索正方形有關判別條件的過程，在簡單的操作活動和說理過程中，發展學生初步合情推理能力，主動 習慣，逐步掌握說理的基本方法.2.探索並掌握正方形的常用判別條件及其應用.自主預習 一 舊知回顧 特殊四邊形的性質 特殊四邊形的判定 合作 活動一正方形的...
長方形與正方形的周長
湖北省麻城第二實驗小學佔發蓮 一 概述 課名是 長方形與正方形的周長 是義務教育課程標準實驗教科書小學二年級的一堂數學課。本節課所需課時為1課時，40分鐘。長方形與正方形的周長 一課主要學習平面圖形周長的概念，並學會計算長方形和正方形的周長。二 教學目標分析 知識與技能 理解平面圖形周長的概念，會計...
正方形的計算與證明
一 填空 1 已知 如圖所示，e為正方形abcd外一點，ae ad，ade 75 則 aeb 2 以正方形abcd的對角線ac為一邊作菱形aefc，則 fab 3 正方形abcd中，對角線的長是10cm，點p是ab上任意一點，則點p到ac bd的距離之和是 4 如圖所示，在正方形abcd中，m是bc...