有乙個小偷偷了一位很老實的農民的東西，並被當場捕獲，有人將小偷送到縣衙。縣官發現小偷正是自己的兒子，於是在一張紙條的正面寫上：小偷應當放掉，而在紙的反面寫了：
根據縣太爺的命令放掉農民，關押小偷。縣官聽了大怒，責問執事官。執事官就將紙條捏在手上拿給縣官看，從「應當」二字讀起，確實沒錯。
仔細**字跡，也沒有塗改，縣官不知其中奧秘，又看到確實是自己的字跡，只好自認倒霉。縣官清楚是執事官在紙條上做了手腳，懷恨在心，伺機報復。一日，又拿了一張紙條，要執事官僅用一筆將正反兩面塗黑，否則就要將其拘役。
執事官不慌不忙地把紙條扭了一下，粘住兩端，提起毛筆在紙環上一劃，又拆開兩端，只見紙條正反面均塗上黑色。縣官的詭計又落空了。
當然現實生活中可能不會發生這樣的故事，但是這個故事卻很好地反映出乙個很有名的幾何體的特點，這個幾何體就是公元2023年由德國數學家莫比烏斯發現的具有魔術般神奇性質的單面紙帶(後人即稱之為「莫比烏斯帶」)：將乙個長紙條的一頭扭轉180，後再兩頭粘接起來。普通紙帶具有兩個面(即雙側曲面，見圖一)，乙個正面，乙個反面，兩個面可以塗成不同的顏色；而這樣粘接起來的紙帶只有乙個面(即單側曲面，見圖二)，只能不間斷地塗上一種顏色；而且乙隻螞蟻可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣!
一、相關介紹
莫比烏斯帶，是一種拓撲學結構，它只有乙個面（表面）和乙個邊界。它是由德國數學家、天文學家莫比烏斯和約翰·李斯丁在2023年獨立發現的。這個結構可以用乙個紙帶旋轉半圈再把兩端粘上之後輕而易舉地製作出來。
二、發現人物
1790 年11月17日生於瑙姆堡附近的舒爾普福塔，2023年9月26日卒於萊比錫。1809 年入萊比錫大學學習法律，後轉攻數學、物理和天文。1814 年獲博士學位，2023年任副教授，2023年當選為柏林科學院通訊院士，2023年任萊比錫大學天文與高等力學教授。
莫比烏斯的科學貢獻涉及天文和數學兩大領域。他領導建立了萊比錫大學天文台並任台長。因發表《關於行星掩星的計算》而獲得天文學家的讚譽，此外還著有《天文學原理》和《天體力學基礎》等天文學著作。
在數學方面，莫比烏斯發展了射影幾何學的代數方法。他在其主要著作《重心計算》中 ，獨立於 j. 普呂克等人而創立了代數射影幾何的基本概念——齊次座標。
在同一著作中他還揭示了對偶原理與配極之間的關係，並對交比概念給出了完善的處理。莫比烏斯最為人知的數學發現是後來以他的名字命名的單側曲面——莫比烏斯帶。此外，莫比烏斯對拓撲學球面三角等其他數學分支也有重要貢獻。
三、相關實驗
做幾個簡單的實驗，就會發現「莫比烏斯帶」有許多驚奇有趣的結果。
四、主要特性
莫比烏斯帶的主要特性是單側性。
關於莫比烏斯帶的單側性，可用如下的方法直觀地了解。如果給莫比烏斯帶著色，筆始終沿曲面移動，且不越過它的邊界，最後可把莫比烏斯帶兩面均塗上顏色，即區分不出哪是正面，哪是反面。對圓柱面則不同，在一側著色不通過邊界不可能對另一側也著色。
單側性又稱不可定向性。以曲面上除邊緣外的每一點為圓心各畫乙個小圓，對每個小圓周指定乙個方向，稱為相伴該曲面圓心點的指向。若能使相鄰兩點相伴的指向相同，則稱曲面是可定向的，否則稱為不可定向的。
莫比烏斯帶是不可定向的。
五、相關故事
「莫比烏斯帶」有點神秘，一時又派不上用場，但是人們還是根據它的特性編出了一些故事。數學上就盛傳著這樣乙個故事：
有人曾提出，先用一張長方形的紙條，首尾相粘，做成乙個紙圈，然後只允許用一種顏色，在紙圈上的一面塗抹，最後把整個紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。這個紙圈應該怎樣粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個面，勢必要塗完乙個面再重新塗另乙個面，不符合塗抹的要求，能不能做成只有乙個面、一條封閉曲線做邊界的紙圈兒呢？
對於這樣乙個看起來十分簡單的問題，數百年間，曾有許多科學家進行了認真研究，結果都沒有成功。後來，莫比烏斯對此發生了濃厚興趣，他長時間專心思索、試驗，也毫無結果。
有一天，他被這個問題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空氣，清涼的風，使他頓時感到輕鬆舒適，但他頭腦裡仍然只有那個尚未找到的圈兒。
一片片肥大的玉公尺葉子，在他眼裡變成了「綠色的紙條兒」，他不由自主地蹲下去，擺弄著、觀察著。葉子彎取著聳拉下來，有許多扭成半圓形的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向對接成乙個圓圈兒，他驚喜地發現，這「綠色的圓圈兒」就是他夢寐以求的那種圈圈。
莫比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉180°，再將一端的正面和背面粘在一起，這樣就做成了只有乙個面的紙圈兒。
六、引數方程
數學上，可以寫出莫比烏斯帶的引數方程：
其中0≤u＜2π且-1≤v≤1。這個方程組可以創造乙個邊長為1半徑為1的莫比烏斯帶，所處位置為x-y面，中心為（0，0，0）。引數u在v從乙個邊移動到另一邊的時候環繞整個帶子。
七、實際應用
莫比烏斯帶的概念被廣泛地應用到了建築、藝術、生活生產中。
（一）藝術作品
莫比烏斯帶為很多藝術家提供了靈感，比如美術家就是乙個利用這個結構在他木刻畫作品裡面的人，埃舍爾多次表達數學上有趣的莫比烏斯帶。當一條絲帶被扭曲後，將兩端連在一起，則絲帶的正面和反面是相間地連線起來的。但這種曲面帶的現象若由平面圖畫表達出來則毫不容易，2023年的《紅蟻》便是這種題材的作品，也是一件稀有的埃舍爾套色版畫。
埃舍爾在他的著作中，指出特別偏好兩色的外型結構，因為圖形的本質需要，他才加上顏色。
（二）生活生產
莫比烏斯帶是乙個迷人的幾何表面，它只有乙個面和乙個邊界，代表著可能性和永無休止的迴圈。葡萄牙設計師與建築師pereira migue就將它的這種特性融入於家具設計中，為貝納通帶來了united colors座椅。
毋庸置疑，莫比烏斯帶在生活和生產中也有一些更常見的用途。例如，傳送機械動力的皮帶就可以做成莫比烏斯帶狀，這樣皮帶就不會只磨損一面了。如果把錄音機的磁帶做成莫比烏斯帶狀，磁帶就只有乙個面，就不存在正反兩面的問題了，也就不存在翻磁帶的問題了。
同樣的道理，印表機中的色帶做成莫比烏斯帶結構，就可以延長其使用壽命。
神奇的莫比烏斯帶
六年級數學下冊教學設計 神奇的莫比烏斯帶 教學設計 六安市舒城縣城衝小學謝成為 教材分析 公元1858年，德國數學家莫比烏斯發現 把乙個扭轉180 後再兩頭粘接起來的紙條，具有魔術般的性質。因為普通紙帶具有兩個面 即雙側曲面 乙個正面，乙個反面，兩個面可以塗成不同的顏色 而這樣的紙帶只有乙個面 即單...
《神奇的莫比烏斯帶》課後反思
二 模仿到創造，美在創造 模仿學習是小學生學習方法之一，它就是從大同小異 小同大異 仿作，由臨摹到創新的訓練方式,可以培養學生的理解力和鑑賞力。但有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿，模仿僅僅是手段，模仿的目的是為了創造。從模仿到創造，要有乙個過程，這個過程也就是學生的發展過程。在這節課，從變魔術引...
《神奇的莫比烏斯帶》教學設計與反思
實踐活動 神奇的莫比烏斯帶 教學設計 雲霧山鎮中心小學文紅梅 活動目標 1 使學生了解認識莫比烏斯帶,動手製作莫比烏斯帶。2 在莫比烏斯帶的探索過程中，體會實驗，猜想，驗證的數學思想方法 3 讓學生在 活動過程中，感受數學活動的樂趣，培養學生敢於動手，樂於交流，善於推理的能力，在學習過程中獲得積極向...