高中數學教學應走出解題「假設」的誤區
樂亭縣教育局教研室周學軍
河北 063600 20001.7
在數學解題中，根據題目的需要，常需提出假設，借助於假設的參與，形成新的思路，從而使問題獲解。但因假設不當或假設不慎，導致解題錯誤的現象經常發生，因此，本文擬通過對幾例的剖析，引導大家走出「假設」的誤區。
1.誤區之一：忽視「假設」的存在性
例1：已知橢圓x2 + =1，過點a(1,1)能否作一條直線ι與所給橢圓交於兩點q1、q2 ,且點a恰好為線段q1q2的中點？
錯解：設q1(x1,y1) 、q2(x2,y2),線段q1q2的中點為a(1,1)，
由得 2(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 .
又x1+x2=2 ，y1+y2=2，代入上式得4(x1-x2)+2(y1-y2)=0，
所以， ,即所求直線ι的斜率為 - 2 ，
故ι的方程為y - 1 = - 2(x - 1) ，即2x+y - 3=0 .
因此，滿足題設條件的直線ι存在且其方程為2x+y - 3=0 。
剖析：上述解法「設」而不求，簡捷明快，也是解幾解題常用的方法，但若將所求直線的方程與橢圓方程聯立
得2x2+(3 - 2x)2=2
即6x2 - 12x+7=0
所以， δ= - 24<0 ,
即方程組無解，所以直線與橢圓無交點，因此這樣的直線不存在。
事實上，點a位於橢圓的外部，不能作一條直線滿足題設條件。
啟示：在解決有關存在性問題時，往往先假設符合條件的物件存在，然後進行推理求得結論。然而，上述假設僅僅是題目的必要條件，經代入檢驗顯然不是充分條件，假設實際上變成了「無中生有」。
因此，解決這類問題時必須注意「假設」的存在性。
2.誤區之二：忽視「假設」的等價性
例2：設sn 、tn分別為等差數列、的前n項和，若對一切自然數n，有, 求的值。
錯解：因為
故可設k為常數
所以a11=s11 - s10=k(711+1) - k(710+1)=7k
b11=t11 - t10=k(411+27) - k(410+27)=4k
因此 .
剖析：上述解法中，假設sn=k(7n+1) 、tn=k(4n+27) 是把 k看成與n無關的常數，其實k是與n相關的，由等差數列的前n項和公式知：當公差d 0時，sn是n的二次函式且常數項為0，而上述假設中，sn是關於n的一次函式，導致錯誤的原因是假設與已知條件不等價。
啟示：解題時，要準確把握概念、定理和性質，只有「假設」與已知條件等價，才能保證正確順利的解題。
正解：依題意，不妨設
則a11=s11 - s10=11k(711+1) - 10k(710+1)=148k
b11=t11 - t10=11k(411+27) - 10k(410+27)=111k
故 。
3.誤區之三：忽視「假設」的可靠性
例3：已知4個數成等比數列，這4個數的積為1，第二項與第三項之和為 - ,求這4個數。
錯解：設這4個數分別為aq-3、aq-1、aq 、aq3(a、q為常數）
依題意得
由（1）知a=1 ,代入（2）得 q
因為| q+| 2 ,所以此題無解。
剖析：上述解法看起來似乎是幾個數成等比（積一定）問題的巧設，其實，這樣設的結果使四個數所成數列的公比為q2,從而導致這四個數必須同號，這顯然違背了題意，故這種設法是不可靠的，是錯誤的。
啟示：一些巧妙的假設往往可以使解題更加簡捷、明了，但是，如果一味追求巧妙，不注意假設的可靠性、合理性，往往導致解題的錯誤。
正解：設這四個數分別為a、aq、aq2、aq3（a、q為常數）
依題意得
不難解得q= - 或 - 4 ，
q= -代入（2）得a=8 .
q= - 4代入（2）得a
則所求四個數為8 ，- 2 ， , - 或 - ， ，- 2，8 .
4.誤區之四：「假設」存在盲目性
例4：求函式y= +的最小值.
錯解：原函式可化為y
設z1=(x+1)+4i , z2=(x - 3)+2i
則y=|z1| +|z2|
由| z1|+| z2|| z1 - z2| 得 y=| z1|+| z2|=|(x+1)+4i|+|(x - 3)+2i||4+2i|=2 .
故所求函式的最小值為2 .
剖析：上述解法中，| z1|+| z2|| z1 - z2|取等號的條件是z1、z2兩複數對應的向量共線且方向相反，由得 x=7，此時，z1=8+4i、z2=4+2i,兩向量方向相同，不等式等號成立的條件不具備，解法當然也是錯誤的。
啟示：解題中，往往需要通過「假設」的勾通，與一些定理或公式建立聯絡，借助定理或公式去解題。但這種「假設」必須符合定理或公式的使用條件，盲目去設，必然會導致錯誤的發生。
正解：設z1=(x+1)+4i ,z2=(x - 3) - 2i ,
則y=|(x+1)+4i|+|(x - 3) - 2i|
由 | z1|+| z2|| z1 - z2|得
y|(x+1) - (x - 3)+4i - (- 2i)|=|4+6i|=2 .
故所求函式最小值為2 。
當, x= , 即z1=+4i ,z2= - - 2i 時取等號。
綜合以上可以看到，數學解題離不開假設，但是，假設的同時一定要注意它的合理性，在合理完備的前提下，再進一步追求簡設、巧設，只有這樣才能增強解題的「免疫力」，減少許多不應有的錯誤。也只有這樣，才能進一步領略「假設」這一思維模式在數學解題中更加迷人的風采。
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