一、由圖形變換產生的函式關係
1．將一矩形紙片oabc放在平面直角座標系中，o為頂點，點a在x軸上，點c在y軸上，oa=10，oc=8．
（1）如右上圖，在oc邊上取一點d，將△bcd沿bd摺疊，使點c恰好落在oa邊上，記作點e．
①求點e的座標及摺痕bd的長；
②在x軸上取兩點m，n（點m在點n的左側），且mn=4.5，求使四邊形bdmn的周長最短的點m和點n的座標；
（2）如右下圖，在oc，bc邊上分別取點f，g，將△gcf沿gf摺疊，使點c恰好落在oa邊上，記作點h．設oh=x，四邊形ohgc的面積為s，求s與x之間的函式關係式，並寫出自變數x的取值範圍．
2.如圖，將含30°角的直角三角板abc （∠b=30°）繞其直角頂點a 逆時針旋轉α（0°＜α＜90°），得到rt △ade ，ad 與bc 相交於點m ，過點m 作mn ∥de 交ae 於點n ，連線nc ．設bc=4，bm=x ，△mnc 的面積為s △mnc ，△abc 的面積為s △abc ．
（1）求證：△mnc 是直角三角形；
（2）試求用x 表示s △mnc 的函式關係式，並寫出x 的取值範圍；
（3）以點n 為圓心，nc 為半徑作⊙n ，
①當直線ad 與⊙n 相切時，試探求s △mnc 與s △abc 之間的關係；
②當s △mnc =
41s △abc 時，試判斷直線ad 與⊙n 的位置關係，並說明理由
3將一矩形紙片oabc放在直角座標系中，o為原點，c在x軸上，oa=6，oc=10．
（1）如圖（1），在oa上取一點e，將△eoc沿ec摺疊，使o點落在ab邊上的d點，求e點的座標；（2）如圖（2），在oa、oc邊上選取適當的點e′、f，將△e′of沿e′f摺疊，使o點落在ab邊上的d′點，過d′作d′g∥a′o交e′f於t點，交oc′於g點，求證：tg=a′e′．
（3）在（2）的條件下，設t（x，y）①探求：y與x之間的函式關係式．②指出變數x的取值範圍．（4）如圖（3），如果將矩形oabc變為平行四邊形oa「b「c「，使o c「=10，o c「邊上的高等於6，其它條件均不變，探求：這時t（x，y）的座標y與x之間是否仍然滿足（3）中所得的函式關係，若滿足，請說明理由；若不滿足，寫出你認為正確的函式關係式．
是一張放在平面直角座標系中的矩形紙片，o 為原點，點a 在x 軸上，點c 在y 軸上，oa=10，oc=6．
（1）如圖1，在oa 上選取一點g ，將△cog 沿cg 翻摺，使點o 落在bc 邊上，記為e ，求摺痕y 1所在直線的解析式；
（2）如圖2，在oc 上選取一點d ，將△aod 沿ad 翻摺，使點o 落在bc 邊上，記為e'．
①求摺痕ad 所在直線的解析式；
②再作e'f ∥ab ，交ad 於點f ．若拋物線y=- 12
1x 2+h 過點f ，求此拋物線的解析式，並判斷它與直線ad 的交點的個數．
（3）如圖3，一般地，在oc 、oa 上選取適當的點d'、g'，使紙片沿d'g'翻摺後，點o 落在bc 邊上，記為e''．請你猜想：摺痕d'g'所在直線與②中的拋物線會有什麼關係？用（1）中的情形驗證你的猜想．
二、由比例線段產生的函式關係
1．如圖，四邊形abco是矩形，點a（3，0），b（3，4），動點m、n分別從點o、b出發，以每秒1個單位的速度運動，其中點m沿oa向終點a運動，點n沿bc向終點c運動．過點n作np∥oc，交ac於點p，連線mp，已知動點運動了x秒，△mpa的面積為s．
（1）求點p的座標．（用含x的代數式表示）
（2）寫出s關於x的函式關係式，並求出s的最大值．
（3）當△apm與△aco相似時，求出點p的座標．
（4）△pma能否成為等腰三角形？如能，直接寫出所有點p的座標；如不能，說明理由．
2.如圖1，在直角梯形abcd中，ad∥bc，頂點d，c分別在射線am，bn上運動（點d不與a重合，點c不與b重合），e是ab邊上的動點（點e不與a，b重合），在運動過程中始終保持de⊥ce．（1）求證：△ade∽△bec；
（2）當點e為ab邊的中點時（如圖2），求證：de，ce分別平分∠adc，∠bcd；
（3）若ad+de=ab=a，設ae=m，請**：△bec的周長是否與m的值有關？若有關請用含m的代數式表示△bec的周長；若無關請說明理由．
3. 如圖，菱形abcd的邊長為12cm，∠abc=30°，e為ab上一點，且ae=4cm，動點p從b點出發，以1cm/s的速度沿bc邊向點c運動，pe交射線da於點m，設運動時間為t（s）．（1）當t為何值時，△mae的面積為3cm2？
（2）在點p出發的同時，動點q從點d出發，以1cm/s的速度沿dc邊向點c運動，連線mq、pq，試求△mpq的面積s（cm2）與t（s）之間的函式關係式，並求出當t為何值時，△mpq的面積最大，最大值為多少？
（3）連線eq，則在運動中，是否存在這樣的t，使得△pqe的外心恰好在它的一邊上？若存在，請直接寫出滿足條件的t的個數，並選擇其一求出相應的t的值；若不存在，請說明理由．
三、由面積公式產生的函式關係
1. 如圖，正方形abcd邊長為4，m、n分別是bc、cd上的兩個動點，當m點在bc上運動時，保持am和mn垂直．
（1）求證：rt△abm∽rt△mcn；
（2）若mn的延長線交正方形外角平分線cp於點p，當點m在bc邊上如圖位置時，請你在ab邊上找到一點h，使得ah=mc，連線hm，進而判斷am與pm的大小關係，並說明理由；
（3）若bm=1，則梯形abcn的面積為；設bm=x，梯形abcn的面積為y，求y與x之間的函式關係式；當m點運動到什麼位置時，四邊形abcn的面積最大，並求出最大面積；
（4）當m點運動到什麼位置時rt△abm∽rt△amn，求此時bm的值．
2. 如圖1，點c 將線段ab 分成兩部分，如果 ac
bc ab ac =，那麼稱點c 為線段ab 的**分割點．某研究小組在進行課題學習時，由**分割點聯想到「**分割線」，類似地給出「**分割線」的定義：直線l 將乙個面積為s 的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為s 1，s 2，如果 1
21s s s s ==，那麼稱直線l 為該圖形的**分割線．
（1）研究小組猜想：在△abc 中，若點d 為ab 邊上的**分割點（如圖2），則直線cd 是△abc 的**分割線．你認為對嗎？為什麼？
（2）研究小組在進一步**中發現：過點c 任作一條直線交ab 於點e ，再過點d 作直線df ∥ce ，交ac 於點f ，連線ef （如圖3），則直線ef 也是△abc 的**分割線．請你說明理由．
3.如圖，在平面直角座標系x o y中，矩形aocd的頂點a的座標是（0,4），現有兩動點p、q，點p從點o出發沿線段oc（不包括端點o，c）以每秒2個單位長度的速度，勻速向點c運動，點q從點c出發沿線段cd（不包括端點c，d）以每秒1個單位長度的速度勻速向點d運動.點p，q同時出發，同時停
2.止，設運動時間為t秒，當t=2秒時pq=5
（1）求點d的座標，並直接寫出t的取值範圍；
（2）連線aq並延長交x軸於點e,把ae沿ad翻摺交cd延長線於點f,連線ef，則
△a ef的面積s是否隨t的變化而變化？若變化，求出s與t的函式關係式；若不變化，求出s的值. （3）在（2）的條件下，t為何值時，四邊形apqf是梯形？
.4.如圖，在△abc中，∠a=90°，ab=2cm，ac=4cm．動點p從點a出發，沿ab方向以1cm/s的速度向點b運動，動點q從點b同時出發，沿ba方向以1cm/s的速度向點a運動．當點p到達點b時，p，q兩點同時停止運動，以ap為一邊向上作正方形apde，過點q作qf∥bc，交ac於點f．設點p的運動時間為ts，正方形和梯形重合部分的面積為scm2．
（1）當t= s時，點p與點q重合；
（2）當t= s時，點d在qf上；
（3）當點p在q，b兩點之間（不包括q，b兩點）時，求s與t之間的函式關係式．
1. （2011山西）如圖，在平面直角座標系中．四邊形oabc是平行四邊形．直線l經過o、c兩點．點a的座標為（8，0），點b的座標為（11，4），動點p**段oa上從點o出發以每秒1個單位的速度向點a運動，同時動點q從點a出發以每秒2個單位的速度沿a→b→c的方向向點c運動，過點p作pm垂直於x軸，與折線o一c-b相交於點m．當p、q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設點p、q運動的時間為t秒（t＞0）．△mpq的面積為s．
（1）點c的座標為，直線l的解析式為．
（2）試求點q與點m相遇前s與t的函式關係式，並寫出相應的t的取值範圍．
（3）試求題（2）中當t為何值時，s的值最大，並求出s的最大值．
（4）隨著p、q兩點的運動，當點m**段cb上運動時，設pm的延長線與直線l相交於點n．試**：當t為何值時，△qmn為等腰三角形？請直接寫出t的值．
2.已知拋物線y=-x2+3x+4交y軸於點a，交x軸於點b，c（點b在點c的右側）．過點a作垂直於y 軸的直線l．在位於直線l下方的拋物線上任取一點p，過點p作直線pq平行於y軸交直線l於點q．連線ap．
（1）寫出a，b，c三點的座標；
（2）若點p位於拋物線的對稱軸的右側：
①如果以a，p，q三點構成的三角形與△aoc相似，求出點p的座標；
②若將△apq沿ap對折，點q的對應點為點m．是否存在點p，使得點m落在x軸上？若存在，求出點p的座標；若不存在，請說明理由．
3. 在rt△abc中，∠c=90°，∠a=60°，bc=6，等邊三角形def從初始位置（點e與點b重合，ef 落在bc上，如圖1所示）**段bc上沿bc方向以每秒1個單位的速度平移，de、df分別與ab相交於點m、n．當點f運動到點c時，△def停止運動，此時點d恰好落在ab上．在△def開始運動的同時，如果點p以每秒2個單位的速度從d點出發沿de→ef運動，最終運動到f點．若設△def平移的時間為x秒，△pmn的面積為y．
（1）△def的邊長為；
（2）當x為何值時，p點與m點重合？
（3）當點p在de上時，x為何值時，△pmn是直角三角形？
（4）求y與x的函式關係式，並說明當p點在何處時，△pmn的面積最大？
4.如圖1，矩形oabc的頂點o在座標原點，頂點a、c分別在x軸、y軸的正半軸上，且oa＝2，oc＝1，矩形對角線ac、ob相交於e，過點e的直線與邊oa、bc分別相交於點g、h．
(1)①直接寫出點e的座標：．
②求證：ag＝ch．
(2)如圖2，以o為圓心，oc為半徑的圓弧交oa與d，若直線gh與弧cd所在的圓相切於矩形內一點f，求直線gh的函式關係式．
(3)在(2)的結論下，梯形abhg的內部有一點p，當⊙p與hg、ga、ab都相切時，求⊙p的半徑．
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