一、相關概念及定義
1 二次函式的概念：一般地，形如（是常數，）的函式，叫做二次函式。這裡需要強調：和一元二次方程類似，二次項係數，而可以為零．二次函式的定義域是全體實數．
2 二次函式的結構特徵：
（1）等號左邊是函式，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2．
（2）是常數，是二次項係數，是一次項係數，是常數項．
二、二次函式各種形式之間的變換
1二次函式用配方法可化成：的形式，其中.
2 二次函式由特殊到一般，可分為以下幾種形式
三、二次函式解析式的表示方法
1 一般式：（，，為常數，）；
2 頂點式：（，，為常數，）；
3 兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫座標）.
4 注意：任何二次函式的解析式都可以化成一般式或頂點式，但並非所有的二次函式都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函式解析式的這三種形式可以互化.
四、二次函式圖象的畫法
1 五點繪圖法：利用配方法將二次函式化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點座標，然後在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：
頂點、與軸的交點、以及關於對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關於對稱軸對稱的點）.
2 畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.
五、二次函式的性質
六、二次函式的性質
七、二次函式的性質：
八、二次函式的性質
九、拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.
1的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；
相等，拋物線的開口大小、形狀相同.
2對稱軸：平行於軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.
3頂點座標：
4頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函式，如果二次項係數相同，那麼拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.
十、拋物線中，與函式影象的關係
1 二次項係數
二次函式中，作為二次項係數，顯然．
⑴ 當時，拋物線開口向上，越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；
⑵ 當時，拋物線開口向下，越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．
總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小．
2一次項係數
在二次項係數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．
⑴ 在的前提下，
當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；
當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側．
⑵ 在的前提下，結論剛好與上述相反，即
當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；
當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側．
總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置．
總結：3常數項
⑴ 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱座標為正；
⑵ 當時，拋物線與軸的交點為座標原點，即拋物線與軸交點的縱座標為；
⑶ 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱座標為負．
總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置．
總之，只要都確定，那麼這條拋物線就是唯一確定的．
十一、求拋物線的頂點、對稱軸的方法
1公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.
2配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.
3運用拋物線的對稱性：由於拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.
用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.
十二、用待定係數法求二次函式的解析式
1一般式：.已知影象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.
2頂點式：.已知影象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.
3交點式：已知影象與軸的交點座標、，通常選用交點式：.
十三、直線與拋物線的交點
1軸與拋物線得交點為(0,).
2與軸平行的直線與拋物線有且只有乙個交點(,).
3拋物線與軸的交點:二次函式的影象與軸的兩個交點的橫座標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點拋物線與軸相交；
②有乙個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；
③沒有交點拋物線與軸相離.
4平行於軸的直線與拋物線的交點
可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱座標相等，設縱座標為，則橫座標是的兩個實數根.
5 一次函式的影象與二次函式的影象的交點，由方程組的解的數目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; ②方程組只有一組解時與只有乙個交點；③方程組無解時與沒有交點.
6拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由於、是方程的兩個根，故
十四、二次函式圖象的對稱:二次函式圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達
1關於軸對稱
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱後，得到的解析式是；
2關於軸對稱
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱後，得到的解析式是；
3關於原點對稱
關於原點對稱後，得到的解析式是；
關於原點對稱後，得到的解析式是；
4關於頂點對稱
關於頂點對稱後，得到的解析式是；
關於頂點對稱後，得到的解析式是．
5關於點對稱
關於點對稱後，得到的解析式是
總結：根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表示式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表示式已知的拋物線）的頂點座標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點座標及開口方向，然後再寫出其對稱拋物線的表示式．
十五、二次函式圖象的平移
1.平移步驟：
⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點座標；
⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：
2平移規律
在原有函式的基礎上 「值正右移，負左移；值正上移，負下移」．
概括成八個字 「左加右減，上加下減」．
十六、根據條件確定二次函式表示式的幾種基本思路。
1.三點式。
（1）已知拋物線y=ax+bx+c 經過a（，0），b（，0），c（0，-3）三點，求拋物線的解析式。
（2）已知拋物線y=a(x-1)２+4 ， 經過點a（2，3），求拋物線的解析式。
2.頂點式。
（1）已知拋物線y=x2-2ax+a2+b 頂點為a（2，1），求拋物線的解析式。
（1）已知拋物線 y=4(x+a)2-2a 的頂點為（3，1），求拋物線的解析式。
3.交點式。
（1）已知拋物線與 x 軸兩個交點分別為（3，0）,(5,0),求拋物線y=(x-a)(x-b)的解析式。
（2）已知拋物線線與 x 軸兩個交點（4，0），（1，0）求拋物線y=a(x-2a)(x-b)的解析式。
4.定點式。
（1）在直角座標系中，不論a 取何值，拋物線經過x 軸上一定點q，直線經過點q,求拋物線的解析式。
（2）拋物線y= x2 +(2m-1)x-2m與x軸的一定交點經過直線y=mx+m+4，求拋物線的解析式。
（3） 拋物線y=ax2+ax-2過直線y=mx-2m+2上的定點a，求拋物線的解析式。
5.平移式。
（1）把拋物線y= -2x2 向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到拋物線y=a( x-h)2 +k,求此拋物線解析式。
（2）拋物線向上平移,使拋物線經過點c(0,2),求拋物線的解析式.
6.距離式。
（1）拋物線y=ax2+4ax+1(a﹥0)與x軸的兩個交點間的距離為2，求拋物線的解析式。
（2）已知拋物線y=m x2+3mx-4m(m﹥0)與 x軸交於a、b兩點，與軸交於c點，且ab=bc,求此拋物線的解析式。
7.對稱軸式。
（1）拋物線y=x2-2x+(m2-4m+4)與x軸有兩個交點，這兩點間的距離等於拋物線頂點到y軸距離的2倍，求拋物線的解析式。
（2）已知拋物線y=-x2+ax+4, 交x軸於a,b（點a在點b左邊）兩點，交 y軸於點c,且ob-oa=oc，求此拋物線的解析式。
8.對稱式。
（1）平行四邊形abcd對角線ac在x軸上，且a（-10，0），ac=16，d（2，6）。ad交y 軸於e，將三角形abc沿x 軸摺疊，點b到b1的位置，求經過a,b,e三點的拋物線的解析式。
（2）求與拋物線y=x2+4x+3關於y軸（或x軸）對稱的拋物線的解析式。
9.切點式。
（1）已知直線y=ax-a2(a≠0) 與拋物線y=mx2 有唯一公共點，求拋物線的解析式。
（2） 直線y=x+a 與拋物線y=ax2 +k 的唯一公共點a（2，1）,求拋物線的解析式。
10.判別式式。
（1）已知關於x的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有兩個相等的實數根，求拋物線y=-x2+(m+1)x+3解析式。
（2）已知拋物線y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的頂點在x軸上,求拋物線的解析式。
新人教版九年級數學二次函式知識點例題
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九年級數學二次函式知識點總結
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