一、二次函式概念:
1.二次函式的概念:一般地,形如(是常數,)的函式,叫做二次函式。 這裡需要強調:和一元二次方程類似,二次項係數,而可以為零.二次函式的定義域
是全體實數.
2. 二次函式的結構特徵:
⑴ 等號左邊是函式,右邊是關於自變數的二次式,的最高次數是2.
⑵是常數,是二次項係數,是一次項係數,是常數項.
二、二次函式的基本形式
1. 二次函式基本形式:的性質:a 的絕對值越大,拋物線的開口越小。
2. 的性質:
3. 的性質:
4. 的性質:
三、二次函式圖象的平移
1. 平移步驟:
方法一:⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式,確定其頂點座標;
⑵ 保持拋物線的形狀不變,將其頂點平移到處,具體平移方法如下:
2. 平移規律
在原有函式的基礎上「值正右移,負左移;值正上移,負下移」.
概括成八個字「左加右減,上加下減」.
方法二:
⑴沿軸平移:向上(下)平移個單位,變成
(或)⑵沿軸平移:向左(右)平移個單位,變成(或)
四、二次函式與的比較
從解析式上看,與是兩種不同的表達形式,後者通過配方可以得到前者,即,其中.
五、二次函式圖象的畫法
五點繪圖法:利用配方法將二次函式化為頂點式,確定其開口方向、對稱軸及頂點座標,然後在對稱軸兩側,左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為:
頂點、與軸的交點、以及關於對稱軸對稱的點、與軸的交點,(若與軸沒有交點,則取兩組關於對稱軸對稱的點).
畫草圖時應抓住以下幾點:開口方向,對稱軸,頂點,與軸的交點,與軸的交點.
六、二次函式的性質
1. 當時,拋物線開口向上,對稱軸為,頂點座標為.
當時,隨的增大而減小;當時,隨的增大而增大;當時,有最小值.
2. 當時,拋物線開口向下,對稱軸為,頂點座標為.當時,隨的增大而增大;當時,隨的增大而減小;當時,有最大值.
七、二次函式解析式的表示方法
1. 一般式:(,,為常數,);
2. 頂點式:(,,為常數,);
3. 兩根式:(,,是拋物線與軸兩交點的橫座標).
注意:任何二次函式的解析式都可以化成一般式或頂點式,但並非所有的二次函式都可以寫成交點式,只有拋物線與軸有交點,即時,拋物線的解析式才可以用交點式表示.二次函式解析式的這三種形式可以互化.
八、二次函式的圖象與各項係數之間的關係
1. 二次項係數
二次函式中,作為二次項係數,顯然.
⑴ 當時,拋物線開口向上,的值越大,開口越小,反之的值越小,開口越大;
⑵ 當時,拋物線開口向下,的值越小,開口越小,反之的值越大,開口越大.
總結起來,決定了拋物線開口的大小和方向,的正負決定開口方向,的大小決定開口的大小.
2. 一次項係數
在二次項係數確定的前提下,決定了拋物線的對稱軸.
⑴ 在的前提下,
當時,,即拋物線的對稱軸在軸左側;
當時,,即拋物線的對稱軸就是軸;
當時,,即拋物線對稱軸在軸的右側.
⑵ 在的前提下,結論剛好與上述相反,即
當時,,即拋物線的對稱軸在軸右側;
當時,,即拋物線的對稱軸就是軸;
當時,,即拋物線對稱軸在軸的左側.
總結起來,在確定的前提下,決定了拋物線對稱軸的位置.
的符號的判定:對稱軸在軸左邊則,在軸的右側則,概括的說就是「左同右異」
總結: 3. 常數項
⑴ 當時,拋物線與軸的交點在軸上方,即拋物線與軸交點的縱座標為正;
⑵ 當時,拋物線與軸的交點為座標原點,即拋物線與軸交點的縱座標為;
⑶ 當時,拋物線與軸的交點在軸下方,即拋物線與軸交點的縱座標為負.
總結起來,決定了拋物線與軸交點的位置.
總之,只要都確定,那麼這條拋物線就是唯一確定的.
二次函式解析式的確定:
根據已知條件確定二次函式解析式,通常利用待定係數法.用待定係數法求二次函式的解析式必須根據題目的特點,選擇適當的形式,才能使解題簡便.一般來說,有如下幾種情況:
1. 已知拋物線上三點的座標,一般選用一般式;
2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大(小)值,一般選用頂點式;
3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫座標,一般選用兩根式;
4. 已知拋物線上縱座標相同的兩點,常選用頂點式.
九、二次函式圖象的對稱
二次函式圖象的對稱一般有五種情況,可以用一般式或頂點式表達
1. 關於軸對稱
關於軸對稱後,得到的解析式是;
關於軸對稱後,得到的解析式是;
2. 關於軸對稱
關於軸對稱後,得到的解析式是;
關於軸對稱後,得到的解析式是;
3. 關於原點對稱
關於原點對稱後,得到的解析式是;
關於原點對稱後,得到的解析式是;
4. 關於頂點對稱(即:拋物線繞頂點旋轉180°)
關於頂點對稱後,得到的解析式是;
關於頂點對稱後,得到的解析式是.
根據對稱的性質,顯然無論作何種對稱變換,拋物線的形狀一定不會發生變化,因此永遠不變.求拋物線的對稱拋物線的表示式時,可以依據題意或方便運算的原則,選擇合適的形式,習慣上是先確定原拋物線(或表示式已知的拋物線)的頂點座標及開口方向,再確定其對稱拋物線的頂點座標及開口方向,然後再寫出其對稱拋物線的表示式.
十、二次函式與一元二次方程:
1. 二次函式與一元二次方程的關係(二次函式與軸交點情況):
一元二次方程是二次函式當函式值時的特殊情況.
圖象與軸的交點個數:
① 當時,圖象與軸交於兩點,其中的是一元二次方程的兩根.這兩點間的距離.
② 當時,圖象與軸只有乙個交點;
③ 當時,圖象與軸沒有交點.
當時,圖象落在軸的上方,無論為任何實數,都有;
當時,圖象落在軸的下方,無論為任何實數,都有.
2. 拋物線的圖象與軸一定相交,交點座標為,;
3. 二次函式常用解題方法總結:
⑴ 求二次函式的圖象與軸的交點座標,需轉化為一元二次方程;
⑵ 求二次函式的最大(小)值需要利用配方法將二次函式由一般式轉化為頂點式;
⑶ 根據圖象的位置判斷二次函式中,,的符號,或由二次函式中,,的符號判斷圖象的位置,要數形結合;
⑷ 二次函式的圖象關於對稱軸對稱,可利用這一性質,求和已知一點對稱的點座標,或已知與軸的乙個交點座標,可由對稱性求出另乙個交點座標.
⑸ 與二次函式有關的還有二次三項式,二次三項式本身就是所含字母,二次函式;下面以時為例,揭示二次函式、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯絡:
十一、函式的應用
二次函式應用
二次函式練習
1. 二次函式的頂點座標是( )
a.(2,-11b.(-2,7) c.(2,11) d. (2,-3)
2. 把拋物線向上平移1個單位,得到的拋物線是( )
a. b. c. d.
3.函式和在同一直角座標系中圖象可能是圖中的( )
4.已知二次函式的圖象如圖所示,則下列結論: ①a,b同號;②當和時,函式值相等;③④當時, 的值只能取0.其中正確的個數是( )
a.1個 b.2個 c. 3個d. 4個
5.已知二次函式的頂點座標(-1,-3.2)及部分圖象(如圖),由圖象可知關於的一元二次方程的兩個根分別是( )
b.-2.3 c.-0.3 d.-3.3
6. 已知二次函式的圖象如圖所示,則點在( )
a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限
7.方程的正根的個數為( )
a.0個b.1個c.2個3 個
8.已知拋物線過點a(2,0),b(-1,0),與軸交於點c,且oc=2.則這條拋物線的解析式為
ab.c. 或 d. 或
9.二次函式的對稱軸是,則_______。
10.已知拋物線y=-2(x+3)+5,如果y隨x的增大而減小,那麼x的取值範圍是_______.
11、已知拋物線y=x2+x-.
(1)用配方法求它的頂點座標和對稱軸.
(2)若該拋物線與x軸的兩個交點為a、b,求線段ab的長.
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