新人教版九年級上二次函式知識點總結
知識點一：二次函式的定義
1．二次函式的定義：
一般地，形如（是常數，）的函式，叫做二次函式．
其中是二次項係數，是一次項係數，是常數項．
知識點二：二次函式的圖象與性質[, , ]
2. 二次函式的圖象與性質
（1）二次函式基本形式的圖象與性質：a的絕對值越大，拋物線的開口越小
（2）的圖象與性質：上加下減
（3）的圖象與性質：左加右減
（4）二次函式的圖象與性質
3. 二次函式的影象與性質
（1）當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點座標為．
當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．
（2）當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點座標為．
當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．
4. 二次函式常見方法指導
（1）二次函式圖象的畫法
①畫精確圖五點繪圖法（列表-描點-連線）
利用配方法將二次函式化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點座標，然後在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.
②畫草圖抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，與軸的交點，頂點.
（2）二次函式圖象的平移
平移步驟：
1 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點座標；
② 可以由拋物線經過適當的平移得到具體平移方法如下：
平移規律：概括成八個字「左加右減，上加下減」．
（3）用待定係數法求二次函式的解析式
①一般式：.已知圖象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.
②頂點式：.已知圖象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.
③交點式： .已知圖象與軸的交點座標、，通常選擇交點式.
（4）求拋物線的頂點、對稱軸的方法
①公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.
②配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.
③運用拋物線的對稱性：由於拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.
（5）拋物線中，的作用
①決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.
②和共同決定拋物線對稱軸的位置
由於拋物線的對稱軸是直線，故
如果時，對稱軸為軸；
如果（即、同號）時，對稱軸在軸左側；
如果（即、異號）時，對稱軸在軸右側.
③的大小決定拋物線與軸交點的位置
當時，，所以拋物線與軸有且只有乙個交點（0，），故
如果，拋物線經過原點；
如果,與軸交於正半軸；
如果,與軸交於負半軸.
知識點三：二次函式與一元二次方程的關係
5.函式，當時，得到一元二次方程，那麼一元二次方程的解就是二次函式的圖象與軸交點的橫座標，因此二次函式圖象與軸的交點情況決定一元二次方程根的情況.
(1)當二次函式的圖象與軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；
(2)當二次函式的圖象與軸有且只有乙個交點，這時，則方程有兩個相等實根；(3)當二次函式的圖象與軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.
通過下面**可以直觀地觀察到二次函式圖象和一元二次方程的關係：
6.拓展：關於直線與拋物線的交點知識
（1）軸與拋物線得交點為.
（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有乙個交點(,).
（3）拋物線與軸的交點
二次函式的影象與軸的兩個交點的橫座標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點拋物線與軸相交；
②有乙個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；
③沒有交點拋物線與軸相離.
（4）平行於軸的直線與拋物線的交點
同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱座標相等，設縱座標為，則橫座標是的兩個實數根.
（5）一次函式的影象與二次函式的影象的交點，由方程組的解的數目來確定：
①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點;
②方程組只有一組解時與只有乙個交點；
③方程組無解時與沒有交點.
（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由於、是方程的兩個根，故
知識點四：利用二次函式解決實際問題
7.利用二次函式解決實際問題，要建立數學模型，即把實際問題轉化為二次函式問題，利用題中存在的公式、內含的規律等相等關係，建立函式關係式，再利用函式的圖象及性質去研究問題.在研究實際問題時要注意自變數的取值範圍應具有實際意義.
利用二次函式解決實際問題的一般步驟是：
(1)建立適當的平面直角座標系；
(2)把實際問題中的一些資料與點的座標聯絡起來；
(3)用待定係數法求出拋物線的關係式；
(4)利用二次函式的圖象及其性質去分析問題、解決問題.
九年級數學二次函式知識點總結
一 二次函式概念 1 二次函式的概念 一般地，形如 是常數，的函式，叫做二次函式。這裡需要強調 和一元二次方程類似，二次項係數，而可以為零 二次函式的定義域 是全體實數 2.二次函式的結構特徵 等號左邊是函式，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2 是常數，是二次項係數，是一次項係數，是常數項 二...
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