（數學）
2023年2月2日
第二十一章一元二次方程
22.1 一元二次方程
知識點一一元二次方程的定義
等號兩邊都是整式，只含有乙個未知數（一元），並且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
注意一下幾點：
① 只含有乙個未知數；②未知數的最高次數是2；③是整式方程。
知識點二一元二次方程的一般形式
一般形式：其中， 是二次項， 是二次項係數；是一次項，b 是一次項係數；c是常數項。
知識點三一元二次方程的根
使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據。
22.2 降次——解一元二次方程
22.2.1 配方法
知識點一直接開平方法解一元二次方程
（1） 如果方程的一邊可以化成含未知數的代數式的平方，另一邊是非負數，可以直接開平方。一般地，對於形如的方程，根據平方根的定義可解得 .
（2） 直接開平方法適用於解形如或形式的方程，如果 p≥0，就可以利用直接開平方法。
（3） 用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運用平方根的性質，即正數的平方根有兩個，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。
（4） 直接開平方法解一元二次方程的步驟是：①移項；②使二次項係數或含有未知數的式子的平方項的係數為 1；③兩邊直接開平方，使原方程變為兩個一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
知識點二配方法解一元二次方程
通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把乙個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解。
配方法的一般步驟可以總結為：一移、二除、三配、四開。
（1） 把常數項移到等號的右邊；
（2） 方程兩邊都除以二次項係數；
（3） 方程兩邊都加上一次項係數一半的平方，把左邊配成完全平方式；
（4） 若等號右邊為非負數，直接開平方求出方程的解。
22.2.2 公式法
知識點一公式法解一元二次方程
（1） 一般地，對於一元二次方程，如果，那麼方程的兩個根為，這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的係數a,b,c 的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。
（2） 一元二次方程求根公式的推導過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程的過程。
（3） 公式法解一元二次方程的具體步驟：
① 方程化為一般形式：，一般a 化為正值
② 確定公式中a,b,c 的值，注意符號；
③ 求出的值；
④ 若則把a,b,c 和b-4ac 的值代入公式即可求解，，則方程無實數根。
知識點二一元二次方程根的判別式
式子叫做方程根的判別式，通常用希臘字母△表示它，即,
22.2．3 因式分解法
知識點一因式分解法解一元二次方程
（1） 把一元二次方程的一邊化為 0，而另一邊分解成兩個一次因式的積，進而轉化為求兩個一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。
（2） 因式分解法的詳細步驟：
① 移項，將所有的項都移到左邊，右邊化為0；
② 把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；
③ 令每乙個因式分別為零，得到一元一次方程；
④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。
知識點二用合適的方法解一元一次方程
22.2.4 一元二次方程的根與係數的關係（了解）
若一元二次方程的兩個根為, 則有
若一元二次方程有兩個實數根， 則有
22.3 實際問題與一元二次方程
知識點一列一元二次方程解應用題的一般步驟：
（1） 審：是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量以及它們之間的等量關係。
（2） 設：是指設元，也就是設出未知數。
（3） 列：就是列方程，這是關鍵步驟,一般先找出能夠表達應用題全部含義的乙個相等含義，然後列代數式表示這個相等關係中的各個量，就得到含有未知數的等式，即方程。
（4） 解：就是解方程，求出未知數的值。
（5） 驗：是指檢驗方程的解是否保證實際問題有意義，符合題意。
（6） 答：寫出答案。
知識點二列一元二次方程解應用題的幾種常見型別
（1） 數字問題
三個連續整數：若設中間的乙個數為x，則另兩個數分別為x-1，x+1。
三個連續偶數（奇數）：若中間的乙個數為x，則另兩個數分別為x-2,x+2。
三位數的表示方法：設百位、十位、個位上的數字分別為a,b,c，則這個三位數是100a+10b+c.
（2） 增長率問題
設初始量為a，終止量為b，平均增長率或平均降低率為x，則經過兩次的增長或降低後的等量關係為
（3）利潤問題
利潤問題常用的相等關係式有：①總利潤=總銷售價-總成本；②總利潤=單位利潤×總銷售量；③利潤=成本×利潤率
（4）圖形的面積問題根據圖形的面積與圖形的邊、高等相關元素的關係，將圖形的面積用含有未知數的代數式表示出來，建立一元二次方程。
第二十二章二次函式
知識點一：二次函式的定義
1.二次函式的定義：
一般地，形如（是常數，）的函式，叫做二次函式．
其中是二次項係數，是一次項係數，是常數項．
知識點二：二次函式的圖象與性質[, , ]
2.二次函式的圖象與性質
（1）二次函式基本形式的圖象與性質：a的絕對值越大，拋物線的開口越小
（2）的圖象與性質：上加下減
（3）的圖象與性質：左加右減
（4）二次函式的圖象與性質
3. 二次函式的影象與性質
（1）當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點座標為．
當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．
（2）當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點座標為．
當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．
4. 二次函式常見方法指導
（1）二次函式圖象的畫法
①畫精確圖五點繪圖法（列表-描點-連線）
利用配方法將二次函式化為頂點式，確定其開口方向、
對稱軸及頂點座標，然後在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.
②畫草圖抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，與x軸的交點，頂點.
（2）二次函式圖象的平移
平移步驟：
1 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點座標；
② 可以由拋物線經過適當的平移得到。
具體平移方法如下：
平移規律：概括成八個字「左加右減，上加下減」．
（3）用待定係數法求二次函式的解析式
①一般式：.已知圖象上三點或三對，的值，通常選擇一般式.
②頂點式：.已知圖象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.
③交點式：.已知圖象與軸的交點座標、，通常選擇交點式.
（4）求拋物線的頂點、對稱軸的方法
①公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.
②配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.
③運用拋物線的對稱性：由於拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.
（5）拋物線中，的作用
①決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.
②和共同決定拋物線對稱軸的位置
由於拋物線的對稱軸是直線，故
如果時，對稱軸為軸；
如果（即、同號）時，對稱軸在軸左側；
如果（即、異號）時，對稱軸在軸右側.
③的大小決定拋物線與軸交點的位置
當時，，所以拋物線與軸有且只有乙個交點（0，），故
如果，拋物線經過原點；
如果,與軸交於正半軸；
如果,與軸交於負半軸.
知識點三：二次函式與一元二次方程的關係
5.函式，當時，得到一元二次方程，那麼一元二次方程的解就是二次函式的圖象與軸交點的橫座標，因此二次函式圖象與軸的交點情況決定一元二次方程根的情況.
(1)當二次函式的圖象與軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；
(2)當二次函式的圖象與軸有且只有乙個交點，這時，則方程有兩個相等實根；(3)當二次函式的圖象與軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.
通過下面**可以直觀地觀察到二次函式圖象和一元二次方程的關係：
6.拓展：關於直線與拋物線的交點知識
（1）軸與拋物線得交點為.
（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有乙個交點(,).
（3）拋物線與軸的交點
二次函式的影象與軸的兩個交點的橫座標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點拋物線與軸相交；
②有乙個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；
③沒有交點拋物線與軸相離.
（4）平行於軸的直線與拋物線的交點
同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱座標相等，設縱座標為，則橫座標是的兩個實數根.
（5）一次函式的影象與二次函式的影象的交點，由方程組的解的數目來確定：
①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點;
②方程組只有一組解時與只有乙個交點；
③方程組無解時與沒有交點.
（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由於、是方程的兩個根，故
知識點四：利用二次函式解決實際問題
7.利用二次函式解決實際問題，要建立數學模型，即把實際問題轉化為二次函式問題，利用題中存在的公式、內含的規律等相等關係，建立函式關係式，再利用函式的圖象及性質去研究問題.在研究實際問題時要注意自變數的取值範圍應具有實際意義.
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