九年級下冊數學知識點總結

2022-09-17 01:12:03 字數 4999 閱讀 2268

2013最新版初三下冊數學知識點總結

第一章直角三角形邊的關係

※一. 正切:

定義:在rt△abc中,如果銳角∠a確定,那麼∠a的對邊與鄰邊的比便隨之確定,這個比叫做∠a的正切,記作tana,

即;①tana是乙個完整的符號,它表示∠a的正切,記號裡習慣省去角的符號「∠」;

②tana沒有單位,它表示乙個比值,即直角三角形中∠a的對邊與鄰邊的比;

③tana不表示「tan」乘以「a」;

④初中階段,我們只學習直角三角形中,∠a是銳角的正切;

※⑤tana的值越大,梯子越陡,∠a越大;∠a越大,梯子越陡,tana的值越大。

※二.餘切:

定義:在rt△abc中,銳角∠a的鄰邊與對邊的比叫做∠a的餘切,記作cota,即;

※乙個銳角的正弦、余弦、正切、餘切分別等於它的餘角的余弦、正弦、餘切、正切。

(通常我們稱正弦、余弦互為餘函式。同樣,也稱正切、餘切互為餘函式,可以概括為:乙個銳角的三角函式等於它的餘角的餘函式)用等式表達:若∠a為銳角,則

①;②; ※當從低處觀測高處的目標時,視線與水平線所成的銳角稱為仰角

※當從高處觀測低處的目標時,視線與水平線所成的銳角稱為俯角

※利用特殊角的三角函式值表,可以看出,(1)當角度在0°~90°間變化時,正弦值、正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小);余弦值、餘切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)。(2)0≤sinα≤1,0≤cosα≤1。

※同角的三角函式間的關係:

倒數關係:tgα·ctgα=1。

※在直角三角形中,除直角外,一共有五個元素,即三條邊和二個銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的過程,叫做解直角三角形。

◎在△abc中,∠c為直角,∠a、∠b、∠c所對的邊分別為a、b、c,則有

(1)三邊之間的關係:a2+b2=c2;

(2)兩銳角的關係:∠a+∠b=90°;

(3)邊與角之間的關係:

(4)面積公式: (hc為c邊上的高);

(5)直角三角形的內切圓半徑

(6)直角三角形的外接圓半徑

◎解直角三角形的幾種基本型別列表如下:

◎解直角三角形的幾種基本型別列表如下:

※ 如圖2,坡面與水平面的夾角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示,即

◎從某點的指北方向按順時針轉到目標方向的水平角,叫做方位角。如圖3,oa、ob、oc的方位角分別為45°、135°、225°。

◎指北或指南方向線與目標方向線所成的小於90°的水平角,叫做方向角。如圖4,oa、ob、oc、od的方向角分別是;北偏東30°,南偏東45°(東南方向)、南偏西為60°,北偏西60°。

第二章二次函式

※二次函式的概念:形如(、b、c是常數,≠0)的函式,叫做x的二次函式。自變數的取值範圍是全體實數。

是二次函式的特例,此時常數b=c=0.

※在寫二次函式的關係式時,一定要尋找兩個變數之間的等量關係,列出相應的函式關係式,並確定自變數的取值範圍。

※二次函式y=ax2的圖象是一條頂點在原點關於y軸對稱的曲線,這條曲線叫做拋物線。

描述拋物線常從開口方向、對稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高(或最低)點、拋物線與x軸的交點等方面來描述。

①函式的取值範圍是全體實數;

②拋物線的頂點在(0,0),對稱軸是y軸(或稱直線x=0)。

③當a>0時,拋物線開口向上,並且向上方無限伸展。當a<0時,拋物線開口向下,並且向下方無限伸展。

④函式的增減性:

a、當a>0時

b、當a<0時

⑤當|a|越大,拋物線開口越小;當|a|越小,拋物線的開口越大。

⑥最大值或最小值:當a>0,且x=0時函式有最小值,最小值是0;當a<0,且x=0時函式有最大值,最大值是0。

※二次函式的圖象是一條頂點在y軸上且與y軸對稱的拋物線

※二次函式的圖象是以為對稱軸,頂點在

(,)的拋物線。(開口方向和大小由a來決定)

※|a|的越大,拋物線的開口程度越小,越靠近對稱軸y軸,y隨x增長(或下降)速度越快;|a|的越小,拋物線的開口程度越大,越遠離對稱軸y軸,y隨x增長(或下降)速度越慢。

※二次函式的圖象中,a的符號決定拋物線的開口方向,|a|決定拋物線的開口程度大小,c決定拋物線的頂點位置,即拋物線位置的高低。

※二次函式的圖象與y=ax2的圖象的關係:

的圖象可以由y=ax2的圖象平移得到,其步驟如下:

1 將配方成的形式;

(其中h=,k=);

②把拋物線向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|個單位,得到y=a(x-h)2的圖象;

③再把拋物線向上(k>0)或向下(k<0)平移| k|個單位,便得到的圖象。

※二次函式的性質:

二次函式配方成則拋物線的

①對稱軸:x= ②頂點座標:(,)

③增減性:若a>0,則當x《時,y隨x的增大而減小;

當x>時,y隨x的增大而增大。

若a<0,則當x《時,y隨x的增大而增大;

當x>時,y隨x的增大而減小。

④最值:若a>0,則當x=時,;

若a<0,則當x=時,

※畫二次函式的圖象:

我們可以利用它與函式的關係,平移拋物線而得到,但往往我們採用簡化了的描點法----五點法來畫二次函式來畫二次函式的圖象,其步驟如下:

①先找出頂點(,),畫出對稱軸x=;

②找出圖象上關於直線x=對稱的四個點(如與座標的交點等);

③把上述五點連成光滑的曲線。

¤二次函式的最大值或最小值可以通過將解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得,也可以借助圖象觀察。

¤解決最大(小)值問題的基本思路是:

①理解問題;

②分析問題中的變數和常量,以及它們之間的關係;

③用數學的方式表示它們之間的關係;

④做數學求解;

⑤檢驗結果的合理性、拓展性等。

※二次函式的圖象(拋物線)與x軸的交點的橫座標x1,x2是對應一元二次方程的兩個實數根

※拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定:

>0 <===> 拋物線與x軸有2個交點;

=0 <===> 拋物線與x軸有1個交點;

<0 <===> 拋物線與x軸有0個交點(無交點);

※當》0時,設拋物線與x軸的兩個交點為a、b,則這兩個點之間的距離:

化簡後即為: ------ 這就是拋物線與x軸的兩交點之間的距離公式。

第三章圓

一. 車輪為什麼做成圓形

※1. 圓的定義:

描述性定義:在乙個平面內,線段oa繞它固定的乙個端點o旋轉一周,另乙個端點a隨之旋轉所形成的圓形叫做圓;固定的端點o叫做圓心;線段oa叫做半徑;以點o為圓心的圓,記作⊙o,讀作「圓o」。圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧,每一條弧都叫做半圓。

能夠重合的兩個圓叫做等圓,在同圓活等圓中,能夠互相重合的弧叫做等弧。

集合性定義:圓是平面內到定點距離等於定長的點的集合。其中定點叫做圓心,定長叫做圓的半徑,圓心定圓的位置,半徑定圓的大小,圓心和半徑確定的圓叫做定圓。

對圓的定義的理解:①圓是一條封閉曲線,不是圓面;

②圓由兩個條件唯一確定:一是圓心(即定點),二是半徑(即定長)。

※2. 點與圓的位置關係及其數量特徵:

如果圓的半徑為r,點到圓心的距離為d,則

①點在圓上 <===> d=r;

②點在圓內 <===> d③點在圓外 <===> d>r.

其中點在圓上的數量特徵是重點,它可用來證明若干個點共圓,方法就是證明這幾個點與乙個定點、的距離相等。

2. 圓的對稱性:

三※1. 與圓相關的概念:

①弦和直徑:

弦:連線圓上任意兩點的線段叫做弦。

直徑:經過圓心的弦叫做直徑。

②弧、半圓、優弧、劣弧:

弧:圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧,用符號「⌒」表示,以cd為端點的弧記為「」,讀作「圓弧cd」或「弧cd」。

半圓:直徑的兩個端點分圓成兩條弧,每一條弧叫做半圓。

優弧:大於半圓的弧叫做優弧。

劣弧:小於半圓的弧叫做劣弧。(為了區別優弧和劣弧,優弧用三個字母表示。)

③弓形:弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。

④同心圓:圓心相同,半徑不等的兩個圓叫做同心圓。

⑤等圓:能夠完全重合的兩個圓叫做等圓,半徑相等的兩個圓是等圓。

⑥等弧:在同圓或等圓中,能夠互相重合的弧叫做等弧。

⑦圓心角:頂點在圓心的角叫做圓心角.

⑧弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.

※2. 圓是軸對稱圖形,直徑所在的直線是它的對稱軸,圓有無數條對稱軸。

※3. 垂徑定理:垂直於弦的直徑平分這條弦,並且平分弦所對的兩條弧。

推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦,並且平分弦所對的兩條弧。

說明:根據垂徑定理與推論可知對於乙個圓和一條直線來說,如果具備:

過圓心;②垂直於弦;③平分弦;④平分弦所對的優弧;⑤平分弦所對的劣弧。

上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結論。

※4. 定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。

推論: 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等.

3. 圓周角和圓心角的關係:

※1.1°的弧的概念: 把頂點在圓心的周角等分成360份時,每乙份的角都是1°的圓心角,相應的整個圓也被等分成360份,每乙份同樣的弧叫1°弧.

※2. 圓心角的度數和它所對的弧的度數相等.

這裡指的是角度數與弧的度數相等,而不是角與弧相等.即不能寫成

∠aob= ,這是錯誤的.

※3. 圓周角的定義:

頂點在圓上,並且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.

※4. 圓周角定理:

一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半.

※推論1: 同弧或等弧所對的圓周角相等;反之,在同圓或等圓中,相等圓周角所對的弧也相等;

※推論2: 半圓或直徑所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑;

※四. 確定圓的條件:

※1. 理解確定乙個圓必須的具備兩個條件:

圓心和半徑,圓心決定圓的位置,半徑決定圓的大小.

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