第二十一章二次根式
1.二次根式：式子 (a≥0)叫做二次根式。
2.最簡二次根式：滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式；
（1）被開方數的因數是整數，因式是整式；
（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。如不是最簡二次根式，因被開方數中含有4是可開得盡方的因數，又如都不是最簡二次根式，而 ， ，5 ， 都是最簡二次根式。
3.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以後，如果被開方數相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式。
如 , , 就是同類二次根式，因為 =2 ， =3 ，它們與的被開方數均為2。
4.有理化因式：兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，則說這兩個代數式互為有理化因式。如與 ，a+ 與a- ， - 與 + ，互為有理化因式。
二次根式的性質：
1. (a≥0)是乙個非負數, 即 ≥0;
2.非負數的算術平方根再平方仍得這個數，即：( )2=a(a≥0)；
3.某數的平方的算術平方根等於某數的絕對值，即 =|a|=
4.非負數的積的算術平方根等於積中各因式的算術平方根的積，即 = · （a≥0,b≥0）。
5.非負數的商的算術平方根等於被除式的算術平方**以除式的算術平方根，即 = （a≥0,b>0）。
21.2 二次根式的乘除
1. 二次根式的乘法
兩個二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變，即（≥0，≥0）。
說明：（1）法則中、可以是單項式，也可以是多項式，要注意它們的取值範圍，、都是非負數；
（2）（≥0，≥0）可以推廣為（≥0，≥0）； （≥0，≥0，≥0，≥0）。
（3）等式（≥0，≥0）也可以倒過來使用，即（≥0，≥0）。也稱「積的算術平方根」。它與二次根式的乘法結合，可以對一些二次根式進行化簡。
2. 二次根式的除法
兩個二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變，即（≥0，＞0）。
說明：（1）法則中、可以是單項式，也可以是多項式，要注意它們的取值範圍，≥0，在分母中，因此＞0；
（2）（≥0，＞0）可以推廣為（≥0，＞0，≠0）；
（3）等式（≥0，＞0）也可以倒過來使用，即（≥0，＞0）。也稱「商的算術平方根」。它與二根式的除法結合，可以對一些二次根式進行化簡。
3. 最簡二次根式
（1）被開方數中不含能開方開得盡的因數或因式；
（2）被開方數中不含分母。
21.3 二次根式的加減
1. 同類二次根式
注：判斷幾個二次根式是否為同類二次根式，關鍵是先把二次根式準確地化成最簡二次根式，再觀察它們的被開方數是否相同。
（2）合併同類二次根式：合併同類二次根式的方法與合併同類項的方法類似，係數相加減，二次根號及被開方數不變。
2. 二次根式的加減
（1）二次根式的加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再將同類二次根式分別合併。
（2）二次根式的加減法與多項式的加減法類似，首先是化簡，在化簡的基礎上去括號再合併同類二次根式，同類二次根式相當於同類項。
一般地，二次根式的加減法可分以下三個步驟進行：
i）將每乙個二次根式都化簡成最簡二次根式
ii）判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類二次根式結合成一組
iii）合併同類二次根式
3. 二次根式的混合運算
二次根式的混合運算可以說是二次根式乘法、除法、加、減法則的綜合應用，在進行二次根式的混合運算時應注意以下幾點：
（1）觀察式子的結構，選擇合理的運算順序，二次根式的混合運算與實數的運算順序一樣，先乘方，後乘除，最後加減，有括號先算括號內的。
（2）在運算過程中，每個根式可以看作是乙個「單項式」，多個不同類的二次根式的和可以看作是「多項式」。
（3）觀察式中二次根式的特點，合理使用運算律和運算性質，在實數和整式中的運算律和運算性質，在二次根式的運算中都可以應用。
4. 分母有理化
（1）我們在前面的學習中研究了分母形如形式的分式的分母有理化
綜合起來，常見的有理化因式有：① 的有理化因式為 ，② 的有理化因式為 ，③ 的有理化因式為 ，④ 的有理化因式為 ，⑤ 的有理化因式為
（2）分母有理化就是通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程，混合運算中進行二次根式的除法運算，一般都是通過分母有理化而進行的。
第二十二章一元二次方程
22.1 一元二次方程
在乙個等式中，只含有乙個未知數，且未知數的最高次數是2次的整式方程叫做一元二次方程。
22.2 降次——解一元二次方程
解一元二次方程的基本思想方法是通過「降次」將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法：
1、直接開平方法：
用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解為x=± m.
2、配方法
1.轉化： 2.係數化
3.移項： 4.配方：
5.變形： 6.開方：
3、公式法
公式法：把一元二次方程化成一般形式，然後計算判別式△=b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，把各項係數a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
22.3 實際問題與一元二次方程
列一元二次方程解應用題是列一元一次方程解應用題的繼續和發展
從列方程解應用題的方法來講，列出一元二次方程解應用題與列出一元一次方程解應用題是非常相似的，由於一元一次方程未知數是一次，因此這類問題大部分都可通過算術方法來解決．如果未知數出現二次，用算術方法就很困難了，正由於未知數是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關面積問題，經過兩次增長的平均增長率問題，數學問題中涉及積的一些問題，經營決策問題等等．
第二十三章旋轉
23.1 圖形的旋轉
1. 圖形的旋轉
（1）定義：在平面內，將乙個圓形繞乙個定點沿某個方向（順時針或逆時針）轉動乙個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉，這個定點叫做旋轉中心，轉動的角稱為旋轉角。
（2）生活中的旋轉現象大致有兩大類：一類是物體的旋轉運動，如時鐘的時針、分針、秒針的轉動，風車的轉動等；另一類則是由某一基本圖形通過旋轉而形成的圖案，如香港特別行政區區旗上的紫荊花圖案。
（3）圖形的旋轉不改變圖形的大小和形狀，旋轉是由旋轉中心和旋轉角所決定，旋轉中心可以在圖形上也可以在圖形外。
（4）會找對應點，對應線段和對應角。
2. 旋轉的基本特徵：
（1）圖形在旋轉時，圖形中的每乙個點都繞旋轉中心旋轉了同樣大小的角度。
（2）圖形在旋轉時，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等；
（3）圖形在旋轉時，圖形的大小和形狀都沒有發生改變。
3. 幾點說明：
旋轉中心的確定分兩種情況，即在圖形上或在圖形外，若在圖形上，哪一點旋轉過程中位置沒有改變，哪一點就是旋轉中心；若在圖形外，對應點連線的垂直平分線的交點就是旋轉中心。
23.2 中心對稱
中心對稱：把乙個圖形繞著某一點旋轉180°，假如它能夠與另乙個圖形重合，那麼這個圖形關於這個點對稱或中心對稱。
中心對稱的性質：①關於中心對稱的劉遇圖形，對應點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分。②關於中心對稱的劉遇圖形是全等形。
中心對稱圖形：把乙個圖形繞著某乙個點旋轉180°，如果旋轉後的圖形能夠與原來的圖形重合，那麼這個圖形叫做中心對稱圖形。
對稱點的座標規律：①關於x軸對稱：橫座標不變，縱座標互為相反數，②關於y軸對稱：橫座標互為相反數，縱座標不變，③關於原點對稱：橫座標、縱座標都互為相反數。
第二十四章圓第三章圓
1、定義：圓是平面上到定點距離等於定長的點的集合。其中定點叫做圓心，定長叫做圓的半徑，
圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。
對圓的定義的理解：①圓是一條封閉曲線，不是圓面；
②圓由兩個條件唯一確定：一是圓心（即定點），二是半徑（即定長）。
2、點與圓的位置關係及其數量特徵：如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則：
①點在圓上<===>d=r；②點在圓內<===>dd>r。（p56-5，6、p58-16）
證明若干個點共圓，就是證明這幾個點與乙個定點的距離相等。
3、圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心。
直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數條對稱軸。（p58-4、p59-9、p61-3、p63-16、p65-15）
4、與圓相關的概念：
①弦和直徑。弦：連線圓上任意兩點的線段叫做弦。直徑：經過圓心的弦叫做直徑。
②圓弧、半圓、優弧、劣弧。圓弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號「⌒」表示，半圓：
直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優弧：大於半圓的弧叫做優弧。
劣弧：小於半圓的弧叫做劣弧。(為了區別優弧和劣弧，優弧用三個字母表示。
)③弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。
④同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓。
⑤等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。
⑥等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。⑦圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。⑦弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距。
5、垂徑定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧。
推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧。
說明：根據垂徑定理與推論可知對於乙個圓和一條直線來說，如果具備：①過圓心；②垂直於弦；③平分弦；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧。
6、定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。
推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，
那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等。
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