數學知識要點複習（五下）
一圖形的變換
圖形變換的基本方式是平移、對稱和旋轉。
1、軸對稱: 如果乙個圖形沿著一條直線對折後兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。
2、學過的軸對稱平面圖形：長（正）方形、圓形、等腰三角形、等邊三角形、等腰梯形……
等腰三角形有1條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸，長方形有2條對稱軸，正方形有4條對稱軸，等腰梯形有1條對稱軸，任意梯形和平行四邊形不是軸對稱圖形。
3、圓有無數條對稱軸。
4、對稱點到對稱軸的距離相等。
5、旋**在平面內，乙個圖形繞著乙個頂點旋轉一定的角度得到另乙個圖形的變化較做旋轉，定點o 叫做旋轉中心，旋轉的角度叫做旋轉角，原圖形上的一點旋轉後成為的另一點成為對應點。生活中的旋**
電風扇、車輪、紙風車
6、旋轉要明確繞點，角度和方向。
7、長方形繞中點旋轉180度與原來重合，正方形繞中點旋轉90度與原來重合。等邊三角形繞中點旋轉120度與原來重合。
8旋轉的性質：
（1）圖形的旋轉是圖形上的每一點在平面上繞某個固定點旋轉固定角度的位置移動；
（2）其中對應點到旋轉中心的距離相等；
（3）旋轉前後圖形的大小和形狀沒有改變；
（4）兩組對應點非別與旋轉中心的連線所成的角相等，都等於旋轉角；
（5）旋轉中心是唯一不動的點。
9、對稱和旋轉的畫法：旋轉要注意：順時針、逆時針、度數
二因數和倍數
10、整除：被除數、除數和商都是自然數，並且沒有餘數。
11、因數、倍數：大數能被小數整除時，大數是小數的倍數，小數是大數的因數。
例：12是6的倍數，6是12的因數。
12、乙個數的因數的個數是有限的，其中最小的因數是1，最大的因數是它本身。
13、乙個數的倍數的個數是無限的，最小的倍數是它本身。
2、3、5的倍數特徵
14、個位上是0，2，4，6，8的數都是2的倍數。乙個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。個位上是0或5的數，是5的倍數。
115、能同時被2、3、5整除的最大的兩位數是90，最小的三位數是120。同時滿足2.3.5的倍數，實際是求2×3×5=30的倍數。
16、完全數：除了它本身以外所有的因數的和等於它本身的數叫做完全數。如：6的因數有：1、2、3（6除外），剛好1+2+3=6，所以6是完全數，小的完全數有6、28等
17：自然數按能不能被2整除來分：奇數、偶數。
奇數：不能被2整除的數。叫奇數。也就是個位上是1、3、5、7、9的數。
偶數：能被2整除的數叫偶數（0也是偶數），也就是個位上是0、2、4、6、8的數。
18、最小的奇數是1，最小的偶數是0. 奇數+、- 偶數=奇數奇數+、- 奇數=偶數偶數+、-偶數=偶數。
19、自然數按因數的個數來分：質數、合數、1、0.
質數（素數）：只有1和它本身兩個因數
合數：除了1和它本身還有別的因數（至少有三個因數：1、它本身、別的因數）
1：只有1個因數。「1」既不是質數，也不是合數。
0：20、最小的質數是2，最小的合數是4，連續的兩個質數是2、3。每個合數都可以由幾個質數相乘得到，質數相乘一定得合數。
21、20以內的質數：有8個（2、3、5、7、11、13、17、19）
100以內的質數：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、
43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
100以內找質數、合數的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍數，是的就是合數，不是的就是質數。
22、最大、最小
a的最小因數是：1；最小的奇數是：1；
a的最大因數是：a；最小的偶數是：0；
a的最小倍數是：a；最小的質數是：2；
最小的自然數是：0；最小的合數是：4；
23、分解質因數：把乙個合數分解成多個質數相乘的形式。
用短除法分解質因數（乙個合數寫成幾個質數相乘的形式）。
比如：30分解質因數是：（30=2×3×5）
24、互質數：公因數只有1的兩個數，叫做互質數。
兩個質數的互質數：5和7
兩個合數的互質數：8和9
一質一合的互質數：7和8
25、兩數互質的特殊情況：
⑴1和任何自然數互質；⑵相鄰兩個自然數互質；⑶兩個質數一定互質；
⑷2和所有奇數互質；⑸質數與比它小的合數互質；
26、公因數、最大公因數
幾個數公有的因數叫這些數的公因數。其中最大的那個就叫它們的最大公因數。
用短除法求兩個數或三個數的最大公因數（除到互質為止，把所有的除數連乘起來）
幾個數的公因數只有1，就說這幾個數互質。
27、如果兩數是倍數關係時，那麼較小的數就是它們的最大公因數。如果兩數互質時，那麼1就是它們的最大公因數。
28、公倍數、最小公倍數
幾個數公有的倍數叫這些數的公倍數。其中最小的那個就叫它們的最小公倍數。
用短除法求兩個數的最小公倍數（除到互質為止，把所有的除數和商連乘起來）
用短除法求三個數的最小公倍數（除到兩兩互質為止，把所有的除數和商連乘起來）
如果兩數是倍數關係時，那麼較大的數就是它們的最小公倍數。
如果兩數互質時，那麼它們的積就是它們的最小公倍數。
三長方體和正方體
29、由6個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形叫做長方體。兩個面相交的邊
叫做稜。三條稜相交的點叫做頂點。相交於乙個頂點的三條稜的長度分別叫做長方體的長、寬、高。
30、長方體特點：（1）有6個面，8個頂點，12條稜，相對的面的面積相等，相對的稜的長度相等。（2）乙個長方體最多有6個面是長方形，最少有4個面是長方形，最多有2個面是正方形。
31、由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫做正方體（也叫做立方體）。
正方體特點：
（1）正方體有12條稜，它們的長度都相等。
（2）正方體有6個面，每個面都是正方形，每個面的面積都相等。
（3）正方體可以說是長、寬、高都相等的長方體，它是一種特殊的長方體。
32、長方體、正方體有關稜長計算公式：
長方體的稜長總和=（長+寬+高）×4＝長×4+寬×4+高×4 l=（a＋b＋h）×4
長=稜長總和÷4－寬－高 a=l÷4－b－h
寬=稜長總和÷4－長－高 b=l÷4－a－h
高=稜長總和÷4－長－寬 h=l÷4－a－b
正方體的稜長總和=稜長×12 l=a×12
正方體的稜長=稜長總和÷12 a=l÷12
33、長方體或正方體6個面和總面積叫做它的表面積。
長方體的表面積=（長×寬＋長×高＋寬×高）×2 s=2（ab ＋ah ＋bh ）
無底（或無蓋）長方體表面積= 長×寬＋（長×高＋寬×高）×2
s=2（ab ＋ah ＋bh ）－ab s=2（ah ＋bh ）＋ab
無底又無蓋長方體表面積=（長×高＋寬×高）×2 s=2（ah ＋bh ）
正方體的表面積=稜長×稜長×6 s=a ×a ×6
34、物體所佔空間的大小叫做物體的體積。 長方體的體積=長×寬×高 v=abh
長=體積÷寬÷高 a=v ÷b ÷h
寬=體積÷長÷高 b=v ÷a ÷h
高=體積÷長÷寬 h= v ÷a ÷b
35、正方體的體積=稜長×稜長×稜長
v=a ×a ×a = a3讀作「a 的立方」表示3個a 相乘，（即a ·a ·a ）
36、長方體或正方體底面的面積叫做底面積。
長方體（或正方體）的體積=底面積×高用字母表示：v=s h
（橫截面積相當於底面積，長相當於高）。
注意：乙個長方體和乙個正方體的稜長總和相等，但體積不一定相等。
注意：用刀分開物體時，每分一次增加兩個面。
37、箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做他們的容積。
固體一般就用體積單位，計量液體的體積，如水、油等。
常用的容積單位有公升和毫公升也可以寫成l 和ml 。
38、 1公升=1立方分公尺 1毫公升=1立方厘公尺 1公升=1000毫公升
39、長方體或正方體容器容積的計算方法，跟體積的計算方法相同。
但要從容器裡面量長、寬、高。
對於同乙個物體，體積大於容積。
*40、形狀不規則的物體可以用排水法求體積，形狀規則的物體可以用公式直接求體積。
排水法的公式：v 物體 =v 現在－v 原來
也可以 v 物體 =s ×(h 現在- h 原來)
v 物體 = s ×h 公升高
41、【體積單位換算】 大單位小單位
小單位大單位
進率： 1立方公尺＝1000立方分公尺＝1000000立方厘公尺
1立方分公尺＝1000立方厘公尺＝1公升＝1000毫公升
×進率 ÷進率
1立方厘公尺＝1毫公升
1平方公尺=100平方分公尺=10000平方厘公尺
1平方千公尺=100公頃=1000000平方公尺
長度單位：1千公尺 =1000 公尺 1 分公尺=10 厘公尺 1厘公尺=10公釐 1分公尺=100公釐
1公尺=10分公尺=100厘公尺=1000公釐
面積單位：1平方千公尺=100公頃1平方公尺=100平方分公尺
1平方分公尺=100平方厘公尺 1公頃=10000平方公尺
質量單位：1噸=1000千克 1千克=1000克
人民幣：1元=10角 1角=10分 1元=100分
四分數的意義和性質
42、分數的意義：乙個物體、一物體等都可以看作乙個整體，把這個整體平均分成若干份，這樣的一
份或幾份都可以用分數來表示。
43、單位「1」：乙個整體可以用自然數1來表示，通常把它叫做單位「1」。（也就是把什麼平均分什麼
就是單位「1」。）
44、分數單位：把單位「1」平均分成若干份，表示其中乙份的數叫做分數單位。如
54的分數單位是5
1。 45、分數與除法
a ÷b=
b a （b ≠0，除數不能為0，分母也不能夠為0） 例如： 4÷5=54 46、真分數和假分數、帶分數
1、真分數：分子比分母小的分數叫真分數。真分數<1。
2、假分數：分子比分母大或分子和分母相等的分數叫假分數。假分數≧1
3、帶分數：帶分數由整數和真分數組成的分數。帶分數＞1.
4、真分數＜1≤假分數真分數＜1＜帶分數
47、假分數與整數、帶分數的互化
（1）假分數化為整數或帶分數，用分子÷分母，商作為整數，餘數作為分子， 如：
510=10÷5=2 5
21=21÷5=451 （2）整數化為假分數，用整數乘以分母得分子如： 2=4
8）（ 2×4=8 （8作分子） （3）帶分數化為假分數，用整數乘以分母加分子，得數就是假分數的分子，分母不變，如： 551=5
26）（ 5×5+1=26 （4）1等於任何分子和分母相同的分數。如：1=
22=33=44=55=…=100
100=… 48、分數的基本性質：
分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。
49、最簡分數：分數的分子和分母只有公因數1，像這樣的分數叫做最簡分數。
乙個最簡分數，如果分母中除了2和5以外，不含其他的質因數，就能夠化成有限小數。
反之則不可以。
50、約分：把乙個分數化成和它相等，但分子和分母都比較小的分數，叫做約分。 如：3024=54
51、通分：把異分母分數分別化成和原來相等的同分母分數，叫做通分。如： 52和41
可以化成208和205
52、分數和小數的互化
（1）小數化為分數：數小數字數。一位小數，分母是10；兩位小數，分母是100……
如：0.3=103 0.03=1003 0.003=10003
（2）分數化為小數：
方法一：把分數化為分母是10、100、1000…… 如：103=0.3 53=106=0.6 41=10025
=0.25
方法二：用分子÷分母如：43
=3÷4=0.75
（3）帶分數化為小數：
先把整數後的分數化為小數，再加上整數
如：2103
=2+0.3=2.3
53、比分數的大小： 分母相同，分子大，分數就大；
分子相同，分母小，分數才大。
分數比較大小的一般方法：同分子比較；通分後比較；化成小數比較。
54、分數化簡包括兩步：一是約分；二是把假分數化成整數或帶分數。
21=0.5 41=0.25 43=0.75 51=0.2 52
=0.4 53
=0.6 54
=0.8
81=0.125 83=0.375 85=0.625 87=0.875 201=0.05 251
=0.04。
分數知識**：
分數的產生
分數的意義分數與意義 ：把單位1平均分成幾份，表示其中的乙份或幾份。
分數與除法 ：分子（被除數），分母（除數），分數值（商）。
真分數真分數小於1
真分數與假分數假分數假分數大於1或等於1
帶分數（整數部分和真分數）
假分數化帶分數、整數（分子除以分母，商作整數部分，餘數作分子）
分數的基本性質：分數的分子、分母同時擴大或縮小相同的倍數，
分數的基本性質分數的大小不變。
通分、通分子：化成分母不同，大小不變的分數（通分）
最大公因數
約分求最大公因數
最簡分數分子分母互質的分數（最簡真分數、最簡假分數）
約分及其方法
最小公倍數
通分求最小公倍數
分數比大小（通分、通分子、化成小數）
通分及其方法
小數化分數小數化成分母是10、100、1000的分數再化簡
分數和小數的互化
分數化小數分子除以分母，除不盡的取近似值
五分數的加法和減法
（1）同分母分數加、減法（分母不變，分子相加減）
55、分數數的加法和減法（2）異分母分數加、減法（通分後再加減）
（3）分數加減混合運算：同整數。
（4）結果要是最簡分數
56、帶分數加減法: 帶分數相加減，整數部分和分數部分分別相加減，再把所得的結果合併起來。
六統計與數學廣角
57、眾數：一組資料**現次數最多的乙個數或幾個數，就是這組資料的眾數。
眾數能夠反映一組資料的集中情況。
在一組資料中，眾數可能不止乙個，也可能沒有眾數。
58、中位數：（1）按大小排列；
（2）如果資料的個數是單數，那麼最中間的那個數就是中位數；
（3）如果資料的個數是雙數，那麼最中間的那兩個數的平均數就是中位數。
59、平均數的求法：總數÷總份數=平均數
60、一組資料的一般水平：
（1）當一組資料中沒有偏大偏小的數，也沒有個別資料多次出現，用平均數表示一般水平。（2）當一組資料中有偏大或偏小的數時，用中位數來表示一般水平。
（3）當一組資料中有個別資料多次出現，就用眾數來表示一般水平。
61、統計圖：我們學過——條形統計圖、複式折線統計圖。
條形統計圖優點：條形統計圖能形象地反映出數量的多少。
折線統計圖優點：折線統計圖不僅能表示出數量的多少，還能反映出數量的變化情況。62、打**：規律——人人不閒著，每人都在傳。
七數學廣角
63、用天平找次品規律：
（1）、把所有物品盡可能平均地分成3份，用的次數最少。
（2）、數目與測試的次數的關係：2～3個物體，保證能找出次品需要測的次數是1次
4～9個物體，保證能找出次品需要測的次數是2次
10～27個物體，保證能找出次品需要測的次數是3次
28～81個物體，保證能找出次品需要測的次數是4次
82～243個物體，保證能找出次品需要測的次數是5次
244～729個物體，保證能找出次品需要測的次數是6次
64、找次品規律
1 2 345次數
3 3×3 3×3×3 3×3×3×3 3×3×3×3×3 …
3 9 27 81 243 …次品個數
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