第1章分式
一、分式的概念及基本性質
1.分式的定義:
類似地，乙個整式 f 除以乙個非零整式g（g 中含有字母），所得的商記作 ,把代數式叫作分式，其中f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0.
2.分式有意義的條件: g≠0
分式無意義的條件: g= 0
分式值為 0 的條件: f=0且 g ≠0
3.分式的基本性質
分式的分子與分母都乘同乙個非零整式，所得分式與原分式相等.
即對於分式，有= (h ≠0)
分式的符號法則
二、分式的運算
1.分式的乘除法法則
分式的乘法分式的除法分式的乘方
n=2.分式的加減
（1）同分母分式相加減 =
（2）異分母分式加減時需通分化為同分母分式加減.這個相同的
分母叫公分母.
(確定公分母的方法:一般取各分母係數的最小公倍數與各分母各個因式的最高次冪的積為公分母)
三、整數指數冪
1.同底數冪除法： =am-n(a≠0，m，n為正整數且m>n)
2.0次冪、負整數指數冪：a0＝1（a≠0） a-n＝n＝
3. 用科學記數法表示絕對值小於1的數：
四、分式方程及其應用
1.解分式方程的思路：
運用轉化思想把分式方程去分母轉化成整式方程求解.
2.解分式方程的一般步驟：
（1）化：方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式
方程；（2）解：解這個整式方程；
（3）驗：把整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的
值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，
這個解不是原分式方程的解，而是其增根，捨去；
（4）寫根：寫出原方程的根.
3.列分式方程解應用題的一般步驟：
（1）審：審清題意，弄清楚已知量和未知量的關係；
（2）找：找出題目中的等量關係；
（3）設：根據題意設出未知數；
（4）列：列出分式方程；
（5）解：解這個分式方程；
（6）驗：檢驗，既要檢驗所求的解是否為所列分式方程
的解，又要檢驗所求得的解是否符合實際意義；
（7）答：寫出答案.
考點一分式的值為0，有、無意義
例1 如果分式的值為0，那麼x的值為 1 .
【解析】根據分式值為0的條件：分子為0而分母不為0，列出關於x的方程，求出x的值，並檢驗當x的取值時分式的分母的對應值是否為零.由題意可得：
x2-1=0, 解得x=±1.當x=-1時，x+1=0;當x=1時，x+1 ≠0.
【答案】1
方法總結
分式有意義的條件是分母不為0；分式無意義的條件是分母的值為0；分式的值為0的條件是：分子為0而分母不為0
針對訓練
1.若分式無意義，則a的值為 -3 .
2.如果分式的值為零，則a的值為 4 .
考點二分式的有關計算
例2 已知分式 x=2,y= 1，求值
【解析】本題中給出字母的具體取值，因此要先化簡分式再代入求值.
解:原式= () =
把x= 2 ,y=1代入得原式= =方法總結
對於乙個分式，如果給出其中字母的取值，我們可以先將分式進行化簡，再把字母取值代入，即可求出分式的值.但對於某些分式的求值問題，卻沒有直接給出字母的取值，而只是給出字母滿足的條件，這樣的問題較複雜，需要根據具體情況選擇適當的方法.
針對訓練
3.已知x2-5x+1=0,求出的值.
解： 因為x2-5x+1=0，得x-5+=0，即x+=5
又因為＝（2－2＝[（x+）2－2]2－2＝（25－2）2－2＝527
考點三分式方程的解法
例3 解下列分式方程：
（1）+=02) =2-
【解析】兩分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可確定出分式方程的解．
解：（1）去分母得x+1+x﹣1=0，解得x=0，
經檢驗x=0是分式方程的解；
（2）去分母得x﹣4=2x+2﹣3，解得x=﹣3，
經檢驗x=﹣3是分式方程的解．
方法總結
解分式方程的基本思想是「轉化思想」，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
針對訓練
4.解方程： =
解：最簡公分母為（x+2）（x﹣2），
去分母得（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）=16，
整理得﹣4x+8=16，解得x=﹣2，
經檢驗x=﹣2是增根，故原分式方程無解．
考點四分式方程的增根
例4 若分式方程+=0有增根x=2,求a的值.
【解析】增根是分式方程化成整式方程的根，是使最簡公分母為0的未知數的值.分式方程去分母得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0，若原分式方程有增根x=2,即可求出a.
解：原分式方程去分母，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0，
把x=2代入所得方程，得4a+1=0, a
當a=時，x=2.
方法總結
分式方程的增根必須滿足兩個條件：第一能使原分式方程的最簡公分母的值為0；第二是原分式方程去掉分母後得到的整式方程的解.
5.關於x的方程=有增根，求m的值.
解：若分式方程有增根,則增根必須使2x-6=0,
所以增根為x=3.原方程可化為2（x-1)=m2,
把x=3代入得m=±2.
考點五分式方程的實際應用
例5 某商店第一次用600元購進2b鉛筆若干支，第二次又用600元購進該款鉛筆，但這次每支的進價是第一次進價的倍，購進數量比第一次少了30支.求第一次每支鉛筆的進價是多少元？
解：設第一次每支鉛筆進價為x元，根據題意列方程，得
=30 解得 x=4 經檢驗，故x=4原分式方程的解
答：第一次每支鉛筆的進價為4元
在實際問題中，列分式方程的方法與列一元一次方程解應用題的方法相同，不同之處在於列方式方程解應用題時，既要檢驗是不是所列分式方程的解，又要檢驗是否符合實際的意義.
6.某市在道路改造過程中，需要甲、乙兩個工程隊來完成這一工程．已知甲工程隊比乙工程隊每天能多鋪設20公尺，且甲工程隊鋪設350公尺所用的天數與乙工程隊鋪設250公尺所用的天數相同．問甲、乙兩個工程隊每天各能鋪設多少公尺？
解：設乙工程隊每天能鋪設x公尺；則甲工程隊每天能鋪設（x+20）公尺，
依題意，得
解得x=50，
經檢驗，x=50是原方程的解，且符合題意．
答：甲工程隊每天能鋪設70公尺，乙工程隊每天能鋪設50公尺．
第2章三角形
一、三角形
1. 三角形的三邊關係
三角形的任意兩邊之和大於第三邊
2. 三角形的分類
3. 三角形的內角和與外角
(1)三角形的內角和等於180°
(2)三角形的乙個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和，
並且大於和它不相鄰的任何乙個內角.
人教版八年級上冊數學知識點彙總
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