摸球模型中的等可能概率問題
文/劉素梅
一、無放回的摸球概率問題
例1 設袋中有4個白球和2個黑球，現從袋中無放回地依次摸出2個球，求這2個球都是白球的概率.
解析據題意可知基本事件數為[^', 'altimg': '', 'w': '24', 'h':
'31'}]，取的2個球都是白球的事件記為事件a，可能的結果有[^', 'altimg': '', 'w': '25', 'h':
'31'}]種，所以這2個球都是白球的概率為[a\\end=\\frac^}^}=\\frac', 'altimg': '', 'w': '123', 'h':
'63'}].
例2 設袋中有10個大小完全相同的小球，上面依次編號為1，2，，10.每次從袋中任取1個球，取出後不放回，求第5次取到1號球的概率.
解析考慮到前5次取球的基本事件數為[^', 'altimg': '', 'w': '31', 'h':
'31'}]，第5次取到1號球的事件記為事件a，可能的結果有[^', 'altimg': '', 'w': '25', 'h':
'31'}]種，所以第5次取到1號球的概率為[a\\end=\\frac^}^}=\\frac', 'altimg': '', 'w': '141', 'h':
'64'}].本題也可考慮10次取球的基本事件數為[^', 'altimg': '', 'w':
'31', 'h': '31'}]，第5次取到1號球的事件記為事件a，可能的結果有[^', 'altimg': '', 'w':
'24', 'h': '31'}]種，所以第5次取到1號球的概率為[a\\end=\\frac^}^}=\\frac', 'altimg': '', 'w':
'141', 'h': '63'}].
小結解決無放回的摸球概率問題一定要堅持兩條原則：(1)小球總是被看作互不相同；(2)分子與分母具有相同的意義.
二、有放回的摸球概率問題
例3 設袋中有4個紅球和6個黑球，現從袋中有放回地摸球3次，求前兩次摸到黑球第三次摸到紅球的概率.
解析 (解法一)本題可以考慮用等可能事件的概率來求解.每次摸球的方法都是10種，摸球3次的方法總數，即基本事件總數為[', 'altimg': '', 'w':
'151', 'h': '25'}]，前兩次摸到黑球第三次摸到紅球的方法總數為，故前兩次摸到黑球第三次摸到紅球的概率為[}=0.144', 'altimg':
'', 'w': '168', 'h': '46'}].
(解法二)本題也可以考慮用相互獨立事件的概率來求解.設摸到紅球為事件a，摸到黑球為事件b，由於每次摸到紅球的概率都是0.4，每次摸到黑球的概率都是0.
6，而每次摸到紅球還是黑球相互獨立，故前兩次摸到黑球第三次摸到紅球的事件為事件[b_a_', 'altimg': '', 'w': '66', 'h':
'23'}]，即[b_b_a_\\end=p\\beginb_\\endp\\beginb_\\endp\\begina_\\end=0.6×0.6×0.
4=0.144', 'altimg': '', 'w':
'493', 'h': '24'}].
例4 設袋中有4個紅球和6個黑球，現從袋中有放回地摸球200次，求紅球恰好出現30次的概率.
解析據題意可知基本事件數為[', 'altimg': '', 'w': '48', 'h':
'25'}]，紅球恰好出現30次的方法總數可理解為在200次摸球中選定30次摸到紅球，即為[^×4^', 'altimg': '', 'w': '78', 'h':
'31'}]，又170次摸到黑球的方法總數為[', 'altimg': '', 'w': '36', 'h':
'25'}]，所以紅球恰好出現30次的概率為[^×4^×6^}}', 'altimg': '', 'w': '156', 'h':
'57'}].
小結有放回地摸球，每次摸到某類小球的概率均相同，因此這類問題均可看作獨立重複試驗問題，從而使問題得以解決；也可借助等可能事件的概率解決.n次獨立重複試驗常見例項有：(1)反覆地拋擲一枚均勻硬幣；(2)產品合格率、廢品率的抽樣；(3)有放回的抽樣；(4)射手的若干次射擊目標.
以上兩類摸球模型問題的解決方法是：(1)小球總是被看作互不相同；(2)分子與分母具有相同的意義，這往往體現在分母用排列記數則分子也一定要用排列記數，分母用組合記數則分子也一定要用組合記數.另外，同學們要注意利用對立轉化解概率問題和事件分解(分解為互斥或獨立)轉化解概率問題.
【高考**題】
1.設袋中有80個紅球，20個白球.若從袋中任取10個球，則其中恰有6個紅球的概率是
a.[^c_^}^}', 'altimg': '', 'w':
'65', 'h': '63b.[^c_^}^}', 'altimg':
'', 'w': '65', 'h': '63c.
[^c_^}^}', 'altimg': '', 'w': '65', 'h':
'63d.[^c_^}^}', 'altimg': '', 'w':
'65', 'h': '63'}]
2.將一顆質地均勻的骰子(它是一種各面上分別標有點數1，2，3，4，5，6的正方體玩具)先後拋擲3次，則至少出現一次6點向上的概率是
a.[', 'altimg': '', 'w':
'45', 'h': '43', 'eqmath': ' \\f(5,216b.
[', 'altimg': '', 'w': '45', 'h':
'43', 'eqmath': ' \\f(25,216c.[', 'altimg':
'', 'w': '45', 'h': '43', 'eqmath':
' \\f(31,216d.[', 'altimg': '', 'w':
'45', 'h': '43', 'eqmath': ' \\f(91,216)'}]
3.袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為[,', 'altimg': '', 'w':
'25', 'h': '43'}]則袋中所有白球的個數是 .
參*** 3.3
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