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實驗室科學第１４卷第２期２０１１年４月
頻譜分析法在單擺實驗中的應用
鍾季康（上海師範大學天華學院科研處，上海
２０１８１５）
摘要：以現代化的實驗手段改造傳統實驗，給予學生豐富的綜合性實驗技能訓練，是各類實驗課程改革的
一項重要任務。作為訊號分析和基礎物理實驗相結合的乙個範例，引入感測技術和計算機技術，特別是頻譜分析法改造了單擺測量重力加速度的實驗，並完成了傳統單擺實驗無法完成的阻尼係數測量，既豐富了實驗
內容，又擴充套件了理工科學生應用現代化實驗手段的能力。關鍵詞：單擺實驗；霍爾片；資料採集卡；ｆ丌；頻譜中圖分類號
文獻標識碼：ａ
實驗課程改革無疑是大學課程改革最重要的一義在於給學生以綜合性實驗技能訓練。乙個綜合性部分，各類實驗課程改革都力圖引入先進的實驗手實驗，它必須涉及多方面的知識和實驗技能。本文描
段，給學生以更好的實驗技能訓練。另一方面，開設述的單擺實驗方法即具備這樣的特徵。它的實驗原綜合性、設計性實驗也受到了特別的重視…。
但從理雖然簡單，但所涉及到的知識點極為豐富：力學振當前的教學情況看，由於基礎實驗課程物件為一年動，霍爾效應，資料採集及ａ／ｄ轉換，ｆｆｔ分析，計算
級學生，常常受到一些限制，在數位化實驗方面很難
機程式設計等。學生通過這樣的實驗不僅可以得到綜合有更多的拓展。而高年級的課程，如訊號分析的實性的實驗技能訓練，而且可以在如何將現代技術改造
驗又多以計算機模擬實驗為主 ｊ，將感測技術與計傳統實驗、理論聯絡實際等方面得到很多啟示。
算機分析方法結合的綜合性實驗較少，學生依然難本文引入計算機技術和頻譜分析法，對單擺實以得到更豐富的現代化實驗技能訓練。
驗進行了改造，既實現了基礎物理實驗的現代化，又本實驗採用了計算機技術，自動化程度高，有利為訊號分析課程實驗提供了很好的應用落足點，可於減小實驗誤差。但這裡採用了霍爾效應感測器，以使學生得到多方面的實驗技能訓練。
對鋼球的磁化要求較高，如果鋼球的磁化方向不是
眾所周知，單擺運動有極其豐富的物理內在豎直方向，振動曲線將會失真；另外，鋼球的擺動涵 。利用單擺測量重力加速度更是基礎物理實
幅度要盡可能小一些，否則磁場將隨距離的平方而驗的傳統專案
，其基本原理是單擺在小角度擺
迅速減小。這些都會給實驗帶來一定的誤差。
動時，擺動週期與弦線長度２和重力加速度ｇ有
本文所描述的新穎的單擺實驗方法，其主要的意
如下關係：
鍾季康：頻譜分析法在單擺實驗中的應用９１
２丌（１）
秒，它以ｅｘｃｅｌｌ檔案形式記錄下所採集的實驗資料，為在計算機上回放擺動曲線和作進一步分析提供了極為方便的資料檔案。
測量弦線長度ｚ和擺動週期後，便可算出重
力加速度ｇ，其關鍵是測量擺動週期 。最早的實驗方法是利用秒錶測量ｎ個擺動的時間，算出平均一
次來回的時間，即擺動週期ｔｌ１－２］。由於人為操作，主觀誤差難以避免。後來利用光電門技術能比較準
確直接測出擺動週期，大大提高了實驗的精度。
本文介紹的實驗方法，並不直接測量單擺的振
動週期，而是利用感測技術和計算機技術將單擺的
擺動過程實時記錄下來，通過簡單的程式設計對單擺的擺動進行頻譜分析，進而給出重力加速度。特別是，由於記錄下了振動幅度和頻率的微小變化，能反映出單擺實際上作的阻尼衰減振動，由此計算出阻尼
係數，這是傳統實驗方法或者近些年其它改進方法都不能做到的。
１實驗裝置和實驗方法
如圖１所示，單擺的擺球為一磁化了的小鋼球，磁化的極性沿豎直方向，鋼球下方放置一線性霍爾
片，它能將磁場的變化轉換為電壓量輸出至資料採集卡（ａ／ｄ卡），並以數字量形式輸出至計算機記錄
下來。鋼球單擺
霍爾片資料採集卡
計算機圖１實驗裝置
本實驗應用的霍爾片是ｍｌｘ９０２４２，它實際上
是一片整合度很高的霍爾效應放大器，其工作電壓由計算機ｕｓｂ插口直接提供（５ｖ），輸出電壓在±２．５ｖ的幅度範圍內反映磁場的變化。實驗時，磁化鋼球在霍爾片上方附近擺動，當運動至霍爾片正上方時，霍爾片測得磁場最強，輸出的電壓絕對值最大（依鋼球磁化的極性，輸出電壓的極性可正可負）；當鋼球從任意方向偏離霍爾片時，磁場都減弱，霍爾片輸出電壓絕對值逐步減小。由於單擺擺動角度很
小，霍爾片上方的磁場變化近似看作為線性的，這樣霍爾片輸出的電壓變化就反映了鋼球擺動位置的變
化。ａ／ｄ卡以一定的取樣速度採集樣本並在計算機內記錄下單擺的運動。本實驗使用了資料採集卡，其取樣時間間隔為０．０３
時間０ ）
（ａ）霍爾片置於擺球正下方
（ｂ）霍爾片置於最大擺角下方圖２霍爾片置於不同位置時的振動曲線
擺球以不同位置開始運動，霍爾片輸出的振動
頻率是不一樣的。當擺球自由下垂，霍爾片置於其正下方時，霍爾片輸出電壓最大，擺球無論左擺還是右擺霍爾片檢測到的磁場減弱，輸出電壓都同樣變小，所以當鋼球來回乙個週期時，電壓曲線如同單擺
的動能曲線一樣，其頻率是單擺振動曲線頻率的兩倍如圖２（ａ）。但是，當霍爾片置於鋼球自由下垂的左邊或者右邊的下方角度，並令鋼球從這個位置開始自由擺動時，霍爾片輸出的電壓曲線就與單擺振
動曲線相對應，有相同的變化頻率如圖２（ｂ）。
２實驗資料分析
實驗資料分析將完成三項工作：（１）描繪單擺
的振動曲線；（２）作快速傅利葉變換（ｆｎ』）獲取單擺的振動頻率，進而按上述公式計算重力加速度ｇ＝４￣ｒ
；（３）根據振動曲線與振動頻率，計算出擺球
在水中振動的阻尼係數。由於本實驗採用的資料採集卡直接以ｅｘｃｅｌｌ檔案形式
記錄下所採集的實驗資料，而ｅｘｃｅｌｌ軟體具有很好的資料分析功能，可以完成包括ｆｆｔ在內的上述實
驗資料分析工作。但這裡還有其它一些軟體，如
等卜 ，也特別適用於實驗資料分析，尤其是要完成較複雜或者多項任務時，用這些
軟體更為方便。現以ｍａｔｌａｂ程式設計方法加以說明。
２．１單擺振動曲線的描繪
編寫如下簡短的ｍａｔｌａｂ程式段：
ｃｌｅａｒ
９２竇驗宇科學
ｄ５００』）；
％從檔案中讀人資料
上述程式段將記錄單擺運動的檔案中ｄ的５００個資料點讀入變數ｘ中，並用ｐｌｏｔ語句描繪出來，如圖２所示，它反映了單擺的振動情況。２．２振動頻率及重力加速度的計算
對圖２所示的振動曲線作ｆｆｔｒ分析，ｍａｔｌａｂ僅需一條語句ｙ＝ｆｆｔ（ｘ），非常方便 。通過簡單的程式設計可畫出振動頻率譜，並取出最大譜線位置，即單擺的振動頻率 。如圖３所示，當霍爾片置於擺球正下方時振動頻率為１．３３３４ｈｚ；當霍爾片置於擺球自由下垂的左邊或者右邊的下方時振動頻率．廠０為０．６６６７ｈｚ，前者正好為後者的２倍。
測量單擺的擺線長度ｚ後，按公式（１），以ｔ＝
１代入，便可算得重力加速度。本實驗測量擺線長ｆ＝０．５４２ｍ，按頻率重力加速度ｇ＝４￣ｒ
上海地區的重加速度ｇ＝
９．７９４ｍ／ｓ，相對誤差為２．９％。
（ａ）霍爾片置於擺球正下方
（ｂ）霍爾片置於最大擺角下方
圖３單擺的振動頻譜
２．３阻尼係數的測定
時椰∞｛ｉ
（ａ）擺球在水中的阻尼振動
（ｂ）阻尼振動的振動頻譜
圖４擺球在水中的阻尼振動
事實上單擺是在作有阻尼的衰減振動，此時其振動曲線的理論表示式是¨ ：
＝ａ０ｅ一
ａ。為初始振幅，６為阻尼係數，『ｐ為初相，∞ 為有阻尼時的振動頻率
０９＝√ 一６（３）
為了更明顯地顯示單擺的阻尼衰減振動，現將單擺置於水中（霍爾片貼在水盆下面），此時測得的
振動曲線如圖４（ａ）所示。曲線十分清晰地顯現了單擺的阻尼衰減運動狀態。同樣地，由ｆｆｔ分析可得頻譜圖，如圖４（ｂ）所示，此時振動頻率為由於空氣的阻尼比較小，該鋼球在空氣中
的振動頻率近似看為自由振動的頻率 ，因此，鋼球在水中振動受到的阻尼係數按（３）式可計算為 ＝
２￣ｒ一＝２．４５１５。由於阻尼係數與媒質的性質
以及鋼球的大小、形狀等因素有關，所以這裡測量出的阻尼係數僅是本實驗條件下鋼球在水中的數值。
３ 結束語
本實驗裝置簡單，方法新穎，記錄和分析皆由計
算機自動完成，測得的重力加速度精度較高，特別是採用了譜分析法，把原本測量週期的工作改為分析得出振動頻率，這不僅可以得出重力加速度，而且很
容易計算出在不同媒質中的阻尼係數。
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收稿日期
作者簡介：鍾季康（１９４４一），男，教授，主要研究方向為生物
醫學訊號分析。
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