從單模到cs模的小結
下面來小結一些比較有趣的模，描繪出從單模到cs模的兩條不同的路線（參見下圖），而在它們共同的基礎則是essential、summand、complement這三個刻畫子模關係的基本概念。
先介紹一點預備知識，來看所謂的essentialsubmodule.（右）r-模e的子模m稱為essentialsubmodule，若e的任何非零子模與m的交非空，記作mcee。顯然，summandisnotess，直觀上可以把ess看做是非常貼近的子模，其貼近程度可以借助injectivehull來刻畫。
我們知道任何模m都可以嵌入某些injectivemodule，其中最小的乙個就是injectivehull，記作e(m).事實上，m的essentialextension就是介於m與e(m)之間的模。與之相關的乙個概念是complement，ccm是complement，是指存在某個子模s，使得c是與s平凡相交的極大子模，記作cccm.
它們之間的關係是：summand→complement←→essclosed.
下面看類似單模的情形，主要有包含關係
******→uniform→indecomposable，它們在semi******ring上是相同的。所謂uniformmodule就是指它任何子模都是ess的，它是一種被壓縮了模（的子模平凡，也就自然是uniform，而summand顯然不是ess，因此得到indecomposable.所謂cs，就是要求complementsissummands.
我們可以知道uniformiscs，這是因為uniform的空間太小了，容不下非平凡的ess，這就使得complement只能乖乖的變成summand.
然後我們解放一下有******→semi******→qi（quasi-injective）。這裡是qi是injective的一種推廣，m是qi就是指任何m的子模l，hom（l,m）的任何元素都可以擴張為end（m）中的元素。那麼semi******與injective有什麼關係呢？
實際上，它們都有某種意義的**性：semi******是內部的子模可裂為summand（比如在semi******條件下，qi模定義中的l就是m是summand），injective則是作為某個更大的模的子模可裂為summand.如果r-模m包含r的乙個copy，那麼由baercriterion可以得到qi←→injective.
在semi******ring上，這兩種模是相同的，然而在一般的環上它們卻是相互獨立的。先看z/4z，它實際上是self-injectivering，也就是說z/4z作為z/4z-模是injective，但是由於二階元生成的子模z/2z不可裂，因此它不是semi******的。同樣，我們還能得到這樣的z/2z不是injective，但它卻是semi******的（還是******的）！
最後的步驟就是要說明qi→cs，這裡的關鍵是qi模m在e（m）
中的fullyinvariant，即m是qi←→m在e（m）的任何自同態下穩定。由此可得qi-模的直和分解可以由e(m)誘導，假若nccm，則存在t，n⊕tcem→e（m）=e（n）⊕e（t）→m=m∩e（n）⊕m∩e（t）→n=m∩e（n)issummand，其中最後一步用的是essclosed.相應的反例則是出奇的簡單，考慮z-模z，它是uniform的，因此也是cs，但是它不是injective，也就不是qi了。
談談特徵模的一些特徵
討論flatmodule與injectivemodule之間的關係時，乙個重要的中介概念就是特徵模（charactermodule），也有稱其為pontrjaginduality的。misflatmoduleiffthecharactermodulem*=hom（m，q/z）isinjective.
首先，乙個值得問的問題就是為什麼要用hom（m，q/z）來定義charactermodule，特別是為什麼後面要用q/z，而不是更加簡單的z或者q？這個問題與表示論的思想非常相似，所謂表示論，就是把不熟悉的物件投射到熟悉的物件上面，這要求熟悉的物件既要簡單又要能夠儲存原來物件的有效資訊。trace其實就是一種表示，但它似乎過於簡化了，經典表示論是用矩陣群來做被投射物件的，然而我們完全可以擴充套件這樣的概念，這裡所用的hom（m，q/z）更像是把m「翻轉」過來。
先考慮abeliangroup的情形，乙個原因就是q/z是injectivemodule，這保證了對應短正合列的可裂性，同時由baercrition可得：對任何x∈m，總有f∈hom（m，q/z），使得f（x）≠0.這就在很大程度上儲存了m的資訊，而對於我們甚至有g*=g這樣的良好性質。
若是換成z或者q，儘管後者本身也是injectivemodule，但它卻會消滅zp，這就損失了m中關於torsion的資訊。既然這樣的定義對abelian如此可靠，那就可以嘗試推廣到一般的模上，發現沒什麼障礙，也就自然沿用下來了。
對於一般的左r-模，m*=hom（m，q/z）實際上可以視為右r-模，（rf）（x）=f（xr）。事實上，與tensorproduct相對，hom（-，-）對前項有個「翻轉」的過程，而charactermodule恰恰就是這樣的乙個「翻轉」過程。再考慮一下adjointisomorphism，我們有hom（a，b*）=（a⊙b）*，此性質還可以繼續擴張（用hom（c，-）作用），這非常類似於tensorfieldofmainfold上的基本變換。
於是，我們自然會猜想hom（a,b)=a*⊙b，但遺憾的是即使對abeliangroup，這個等式也是不成立的（考慮a=zp，b=z）。
也許有人會想到，在代數幾何等分支中確實出現過類似hom（a,b)=a*⊙b的等式，這又是怎麼回事呢？事實上，若以係數環r代替q/z，那麼至少它還能對freemodule成立，類似的等式大都屬於此類情況的延伸。可惜就目前的情況看來，這點便利還比不上killtorsion的罪過，也就只能暫時把它束之高閣了。
本文作者strongart是一位自學數學的牛人，現在他依然努力堅持自學數學，似乎又有了新的突破，還錄了一些數學專業教學**放在網上。然而，他卻一直沒有收到專業人士的邀請，至今只能依靠網路書店購買書籍，無法獲取海量的**資料，也沒有機會和一流的學者們交流，最後只能走上娛樂拯救學術的道路，這不論對他自己還是對中國的數學事業都將是乙個損失。這裡我希望一些有識之士能夠用自己的實際行動支援一下！
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