「平方差公式」教學設計
江蘇省平潮高階中學陸志強
一、內容和內容解析
內容人教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》八年級上冊「15.2乘法公式」（第一課時）
內容解析
《平方差公式》是在學習了有理數運算、列簡單的代數式、一次方程及不等式、整式的加減及整式乘法等知識的基礎上，在學生已經掌握了多項式乘法之後，自然過渡到具有特殊形式的多項式的乘法，是從一般到特殊的認知規律的典型範例.對它的學習和研究，不僅給出了特殊的多項式乘法的簡便演算法，而且為以後的因式分解、分式的化簡、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函式等內容奠定了基礎，同時也為完全平方公式的學習提供了方法.因此，平方差公式在初中階段的教學中也具有很重要地位，是初中階段的第乙個公式.
本節課的教學重點是：經歷探索平方差公式的全過程，並能運用公式進行簡單的運算.
二、目標和目標解析
目標1.經歷平方差公式的探索過程，進一步發展學生的符號感和推理能力、歸納能力；
2.掌握平方差公式的結構特徵，能運用公式進行簡單的運算；
3.會用幾何圖形說明公式的意義，體會數形結合的思想方法.
目標解析：
1.讓學生經歷「特例──歸納──猜想──驗證──用數學符號表示」這一數學活動過程，積累數學活動的經驗，進一步發展學生的符號感、推理能力、歸納能力，同時體會數學的簡潔美、培養他們的合情推理和歸納的能力以及在解決問題過程中與他人合作交流的重要性.
2.讓學生了解平方差公式產生的背景，理解平方差公式的意義，掌握平方差公式的結構特徵，並能靈活運用平方差公式解決問題.在數學活動中，引導學生觀察、分析公式的結構特徵以及公式中字母的廣泛含義，並在練習中，對發生的錯誤做具體分析，加深學生對公式的理解.
3.通過自主**與合作交流的學習方式，讓學生經歷探索新知、鞏固新知和拓展新知這一過程，發揮學生的主體作用，增強學生學數學、用數學的興趣.同時，讓學生在公式的運用中積累解題的經驗，體會成功的喜悅.
三、教學問題診斷分析
學生已熟練掌握了冪的運算和整式乘法，但在進行多項式乘法運算時常常會確定錯某些項符號及漏項等問題．學生學習平方差公式的困難在於對公式的結構特徵以及公式中字母的廣泛含義學生的理解．因此，教學中引導學生分析公式的結構特徵，並運用變式訓練揭示公式的本質特徵，以加深學生對公式的理解．
本節課的教學難點：利用數形結合的數學思想方法解釋平方差公式，靈活運用平方差公式進行計算．
四、教學過程設計
（一）創設情境，引出課題
問題１：計算下列多項式的積，你能發現什麼規律？
（1）（x+1）（x-1）= ；
（2）（m+2）（m-2）= ；
（3）（2x+1）（2x-1）= ．
【設計意圖】通過對特殊的多項式與多項式相乘的計算，既複習了舊知，又為下面學習平方差公式作了鋪墊，讓學生感受從一般到特殊的認識規律，引出乘法公式----平方差公式．
（二）探索新知，嘗試發現
問題２：依照以上三道題的計算回答下列問題：
①式子的左邊具有什麼共同特徵？
②它們的結果有什麼特徵？
③能不能用字母表示你的發現？
師生活動：教師提問，學生通過自主**、合作交流，發現規律，式子左邊是兩個數的和與這兩個數的差的積，右邊是這兩個數的平方差，並猜想出：．
【設計意圖】根據「最近發展區」理論，在學生已掌握的多項乘法法則的基礎上,探索具有特殊形式的多項式乘法──平方差公式，這樣更加自然、合理．
（三）數形結合，幾何說理
問題3：活動**：將長為（a+b），寬為（a－b）的長方形，剪下寬為b的長方形條，拼成有空缺的正方形，並請用等式表示你剪拼前後的圖形的面積關係．
【設計意圖】通過學生小組合作，完成剪拼遊戲活動,利用這些圖形面積的相等關係,進一步從幾何角度驗證了平方差公式的正確性,滲透了數形結合的思想，讓學生體會到代數與幾何的內在聯絡．引導學生學會從多角度、多方面來思考問題．對於任意的a、b，由學生運用多項式乘法計算：，驗證了其公式的正確性．
（四）總結歸納，發現新知
問題4：你能用文字語言表示所發現的規律嗎？
兩個數的和與這兩個數的差的積，等於這兩個數的平方差．
【設計意圖】鼓勵學生用自己的語言表述，從而提高學生的語言組織與表達能力．
（五）剖析公式，發現本質
在平方差公式中，其結構特徵為：
①左邊是兩個二項式相乘，其中「a與a」是相同項，「b與-b」是相反項；右邊是二項式，相同項與相反項的平方差，即；
②讓學生說明以上四個算式中，哪些式子相當於公式中的a和b，明確公式中a和b的廣泛含義，歸納得出：a和b可能代表數或式．
【設計意圖】通過觀察平方差公式，體驗公式的簡潔性並通過分析公式的本質特徵掌握公式．在認清公式的結構特徵的基礎上，進一步剖析a、b的廣泛含義，抓住了概念的核心，使學生在公式的運用中能得心應手，起到事半功倍的效果．
（六）鞏固運用，內化新知
問題5：判斷下列算式能否運用平方差公式計算：
（1）（2x+3a）（2x–3b）； （2）；
（3）（－m+n）（m－n）； （4）；
（5）．
【設計意圖】學生經過思考、討論、交流，進一步熟悉平方差公式的本質特徵，掌握運用平方差公式必須具備的條件．鞏固平方差公式，進一步體會字母a、b可以是數，也可以是式，加深對字母含義廣泛性的理解．
問題6：判斷下列計算是否正確：
（1）（2a–3b）（2a–3b）=4a2－9b2 （ ）
（2）（x+2）（x – 2）=x2－2 （ ）
（3）（－3a－2）（3a－2）=9a2－4 （ ）
（4） （ ）
【設計意圖】對學生常出現的錯誤，作具體的分析，以加深學生對公式的理解，進一步掌握平方差公式的本質特徵和運用平方差公式必須具備的條件．
問題7：計算：
（1）（2x +3）（3x－3）；（2）（b+2a）（2a－b）．
解：（1）（2x + 3）（2x –3）=（2x）2－32 = 4x 2－9
（2）（b+2a）（2a－b）
=（2a）2－b2
=4a2－b2
【設計意圖】解決操作層面問題．可提議用不同方法計算，以體現學生的創造性．
（七）拓展深化，發展思維
問題8：計算：
（1）98×（－102）； （2）．
【設計意圖】把相乘兩數轉化成兩數和與兩數差的乘積形式，此題體現了轉化的思想和數式通性；另一題是平方差公式與一般多項式乘法的綜合，注意不能用公式的仍按多項式乘法法則進行．
問題9：小明家有一塊「l」形的自留地，現在要分成兩塊形狀、面積相同的部分，種上兩種不同的蔬菜，請你來幫小明設計，並算出這塊自留地的面積．
【設計意圖】運用平方差公式解決實際問題，體現了數學**於生活，服務於生活，學生感受到學習了有用的數學，設計此題與平方差公式的幾何意義相吻合，加深學生對平方差公式的理解．
（八）小試牛刀，挑戰自我
1．在下列括號中填上合適的多項式：
2．看誰算得快：
【設計意圖】設計此組題旨在從正反兩方面靈活運用平方差公式，由結果追溯算式中的相同項和相反項，關鍵在於理解公式結構特徵，同時鍛鍊了學生逆向思維能力，也為後續的學習做了鋪墊．第2個填空題有兩種填法，屬開放設計．目的是加強學生對公式結構特徵的理解，同時也鍛鍊學生的發散思維．
（九）總結概括，自我評價
問題10：這節課你有哪些收穫？還有什麼困惑？
【設計意圖】從知識和情感態度兩個方面加以小結，使學生對本節課的知識有乙個系統全面的認識．
（十）課後作業
必做題：p156習題15.2 1
選做題：1．，則a的末位數是_______．
2．計算：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【設計意圖】作業分層處理有較大的彈性，體現作業的鞏固性和發展性原則，尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需要，讓不同的人在數學上得到不同的發展．
五、目標檢測設計
一、選擇題：
1．下列多項式乘法中，可以用平方差公式計算的是（ ）
a. b.
c. d.
二、填空題：
2．計算： ；
3．計算：；
4．(_____－4b)(_____+4b)=9a2－16b2．
三、計算：
5.；6．； 7．53×47.
四、解答題：
8.已知：兩個正方形的周長之和等於32cm，它們的面積之差為48cm2，求這兩個正方形的邊長.
【設計意圖】對本節重點內容進行現場檢測，及時了解教學目標的達成情況．
平方差公式
教材分析 平方差公式 是在學習了有理數運算 列簡單的代數式 一次方程及不等式 整式的加減及整式乘法等知識的基礎上，在學生已經掌握了多項式乘法之後，自然過渡到具有特殊形式的多項式的乘法，是從一般到特殊的認知規律的典型範例.對它的學習和研究，不僅給出了特殊的多項式乘法的簡便演算法，而且為以後的因式分解 ...
完全平方公式和平方差公式
乘法公式 1 平方差公式 1 平方差公式的推導 因為 a b a b a2 ab ab b2 a2 b2，所以 a b a b a2 b2.例1 利用平方差公式計算 1 2a 3b 2a 3b 2 503 497.2 完全平方公式 1 兩數和的完全平方公式 a b 2 a2 2ab b2 兩數差的完...
《平方差公式》教學反思
1.對於平方差公式的教學要重視結果更要重視其發現過程，充分發揮其教育價值。不要回到傳統的 講公式 用公式 練公式 背公式 學生被動學習的局面。我在教學時沒有直接讓學生推導平方差公式，而是設定了乙個做一做，讓學生通過計算四個多項式乘以多項式的題目，讓學生通過運算並觀察這幾個算式及其結果，自己發現規律？...