主講：江西蓮塘一中李樹森
導數作為研究函式的重要工具，也是進一步學習高等數學的基礎，一直受到命題者的重視與青睞，導數的應用已成為命題的必考點，且常考常新．既有利用導數確定函式的單調區間的問題， 又有不等式恆成立及存在有解問題.不等式的證明等，這類試題難度較大，靈活性較強，與解析幾何相比更沒有一定的套路，設計這些試題是對學生進行理性思維訓練的良好素材，要求備考者切實選擇好解決問題這樣才有利於培養學生良好的思維能力和分析問題解決問題的能力，本專題結合近十年來全國卷的導數試題考查特點總結出關於導數與不等式常見處理的六大解題策略
策略一：隱零點問題「設而不求法」
在利用導數**函式性質的過程中，我們常常遇到某些難以確定的極值點或某些難以計算的代數式，這時我們並不正面求出點的座標，而是利用該點滿足的條件式進行代換消元以解決這一棘手問題．
例1．（2023年全國新課標全國卷文科21題）設函式。
（1）求的單調區間；
（2）若，為整數，且當時，，求的最大值。
解析：（1）函式的定義域為（－∞，+∞），且。
當時，，在（－∞，+∞）上是增函式；
當時，令，得。
令，得，所以在上是增函式，
令，得，所以在上是減函式，
（2）若，則，。
所以，故當時，等價於
即當時令，則。
由（1）知，函式在單調遞增，
而，，所以在存在唯一的零點。
故在存在唯一的零點。設此零點為，則。
當時，；當時，。
所以在的最小值為。
又由，可得，所以，
由於①式等價於，
故整數的最大值為2。
例2. （2023年全國新課標2卷理科21題改編）證明：當時，函式有最小值.設的最小值為，求函式的值域.
解析：由(1)知，當時，的值域為，只有一解．
使得，當時，單調減；當時，單調增
記，在時，，∴單調遞增
∴．隱零點問題解決方法大致分為三步：
第一步，用零點存在性定理判定導函式零點的存在性，列出零點方程，並結合的單調性得到零點的範圍；
第二步：以零點為分界點，說明導函式的正負，進而得到的最值表示式；
第三步,將零點方程適當變形，整體代人最值式子進行化簡證明；有時候第一步中的零點範圍還可以適當縮小，
我們將其稱為**零點三部曲。導函式零點雖然**，但只要抓住特徵（零點方程），判斷其範圍（用零點存在性定理），最後整體代入即可。
策略二:端點驗證、破解不等式
縱觀近幾年的高考試題,利用導數求不等式中某一引數的試題的難度在不斷增加,通過對最近幾年高考試題中的不等式恆成立問題的研究發現,分離引數和討論求最值有時很難解決這類試題,但是若對某個端點進行驗證,那麼就可以比較輕鬆地找到破解這類題目的有效方法,
1.求導後靈活運用放縮，快速確定充分條件
例3.（2023年全國新課標1理科）設函式。
（ⅰ)若，求的單調區間；
（ⅱ）若當時，求的取值範圍。
解析:（1）當時，，。
當時，；當時，。
故在單調遞減，在上單調遞增。
（2）。
由（1）知，當且僅當x=0時等號成立。
故，從而當，即時，（），
而，於是當時，。
由（），可得（）。
從而當時，，
故當時，，而，於是當時，。
綜合得的取值範圍為。
例4．設函式，其中．
（1）討論的單調性；
（2）若在區間內恆成立（為自然對數的底數），求實數的取值範圍．
解析：（1）
當時，，在內單調遞減．
當時，，有．
此時，當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增．
（2）方法一：令，則（易證）
當，時，．
故當在區間內恆成立時，必有．
當時，．由（1）可知函式在上單調遞減，即時，，不符合題意，舍。………8分
當時，令，則
所以在時單調遞增，所以恆成立，即恆成立，滿足題意。綜上，．
例5．已知函式，其中，．
（1）當時，求函式的單調區間；
（2）若對恆成立，求的取值範圍．
試題分析：（1）當時，對其求導，令，對求導，判斷其小於恆成立，得其單調區間；（2）恆成立，轉化為，利用導數得函式在內單調遞增，當時，，可得的範圍．
試題解析：（1）當時，，故，令
，則，故當時，，有單調遞減；當時，，有
單調遞減，因此在單調遞減；
（2）法一：由題對任意的恆成立，令，即，令，則，故在單調遞增，當時，，，因此，所以．
法二：由題可知對任意的恆成立，
，①當時，顯然滿足題意；
②當時，令，則，故，
ⅰ若，則，矛盾；
ⅱ若，因為，所以，矛盾．
綜上知．
2.對原函式巧妙實施放縮，將原函式形式簡單化
近年高考導數題中頻繁出現含「」的式子，如何處理這類函式的恆成立問題，筆者認為解決這一型別題規律性很強，常見的方法有: ( 1)將原函式變形，使其分布在兩邊．( 2)將進行放縮，求導後變形為有理項，下面舉幾個規律性特別強的此類題共同研究如下:
例6．設函式，其中．
（1）討論的單調性；
（2）若在區間內恆成立（為自然對數的底數），求實數的取值範圍．
解析：（1）
當時，，在內單調遞減．
當時，，有．
此時，當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增．
（2）方法一：由
即因為，所以所以令
只要求此時，在的附近必須為增函式，
所以，即，得，
事實上當，
所以在時單調遞增，所恆成立，
下面證明不成立，有解；
當，時，．
因為因為，所以
令故當在區間內恆成立時，必有．
當時，．由（1）可知函式在上單調遞減，即時，不符合題意，舍。
綜上，．
例7. (2013遼寧，理21)已知函式．當時，
(1)求證：；
(2)若恒成立，求實數的取值範圍．
(1)略，
(2)法一：
．設，則.
記則當時，，於是在上是減函式，
從而當時，，故在上是減函式．
於是，從而.
所以，當時，在上恆成立．
下面證明：當時，在上不恆成立．＝＝，
記，則，
當時，，故在上是減函式，
於是在上的值域為．
因為當時，，
所以存在，使得，
此時，即在上不恆成立．
綜上，實數的取值範圍是．
解法二：先證當時， .
證略.＝.
所以當時，在上恆成立．
下面證明:當時，在上不恆成立．因為＝
，所以存在 (例如取和中的較小值)滿足．
即在上不恆成立．
綜上，實數的取值範圍是．
點評:根據以上分析可知,若不等式,具有如下特點驗證端點時,發現有成立,也就是不等式中等號成立的條件恰好是已知區間的乙個端點,那麼不等式成立就轉化為不等式成立,假設函式在上是單調增函式,就可以確定實數的乙個恰當的範圍,使成立,即找到乙個使不等式成立的充分條件接下來還需要證明不在這個範圍內的實數,不能夠滿足條件這時只需找到乙個以為端點的區間使得,這與矛盾,而區間的得到可以通過解不等式。
策略三.巧用因式分離， 單獨呈現
近年高考導數題中頻繁出現含「」的式子，如何處理這類函式的恆成立問題，筆者認為解決這一型別題規律性很強，常見的方法有: ( 1) 可以將分離出來．( 2) 可利用先恆再不定，求出引數範圍． 下面舉幾個規律性特別強的此類題共同研究如下:
例8．已知函式，曲線在點處的切線方程為.
（ⅰ）求a、b的值；
（ⅱ）如果當，且時，，求k的取值範圍.
解析：（ⅰ）由於直線的斜率為，且過點，故，即，解得，.
（ⅱ）由（ⅰ）知，所以.考慮函式，則.
(i)設，由知，當時，. 而，故當時，，可得；當x(1，+)時，h(x)<0，可得，從而當x>0，且x1時，，即.
（ii）設00，故h(x)>0，而h(1)=0，故當x(1，)時，h(x)>0，可得 h(x)<0，與題設矛盾.
（iii）設k1. 此時h(x)>0，而h(1)=0，故當x(1，+)時，h(x)>0，可得h(x)<0，與題設矛盾.
綜上可得，k的取值範圍為（-，0].
解題策略：
處理函式中含有時候，如果直接求導往往比較複雜，我們需要對提起一些恆定的因式，將原函式形式化簡，後處理不定的問題，以達到簡化的目的
策略四、改變結構特徵、靈活運用放縮法
高考導數題中頻繁出現含「」混合的式子，往往直接求導很難湊效，往往需要將原函式變形，通常的做法是將放在兩邊，處理過程中往往需要採用放縮法，放縮法是一種有意識地對相關的數或者式子的取值進行放大或縮小的方法. 如果能夠靈活掌握運用這種方法，對比較大小、不等式的證明等部分數學試題的解題能起到拔雲見日的效果，尤其針對高考壓軸題———導數題問題，是一種解決問題的很好方法.所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對照證題目標進行合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時要注意同向傳遞，同時注意放和縮的「度」，此法既可以單獨用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的乙個重要步驟 .
在導數中常見的放縮的手段有切線放縮，常見的重要不等式防縮，泰勒公式展開放縮。
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