2018-2023年蓮塘二中「華羅庚盃賽」高三數學試題
一、選擇題（本題包括小題，每小題4分，共32分.）
1. 已知全集u＝r，集合集合，則（ ）
a. b. cd．
2．為了得到函式的圖象，可以將函式的圖象（ ）
a. 向左平移個單位 b. 向左平移個單位 c. 向右平移個單位 d. 向右平移個單位
3．某幾何體的三檢視（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的表面積是（ ）
a. 90 b. 129 c. 132 d. 138
4．設函式的圖象上的點處的切線的斜率為，若，則函式的圖象為（ ）
5． 如圖，設拋物線的焦點為，不經過焦點的直線上有三個不同的點，，，其中點，在拋物線上，點在軸上，則與的面積之比是（ ）
a. b. c. d. .
6. 存在函式滿足，對任意都有（ ）
ab.cd.
7．記已知向量，，滿足，，，0且，則當取最小值時，（ ）
abcd.
8．已知函式（）有四個不同的零點，則實數的取值範圍是（ ）
abcd．
二、填空題（本題6小題，每小題5分，共30分.）
9.已知函式實數c的取值範圍是______
10.已知數列的前項是公差為2的等差數列，從第項起，成公比為2的等比數列.若，則的前6項和
11. 設函式若，則實數a的取值範圍是______
12．已知圓，設為直線上的一條線段，若對於圓上的任意一點,,則的最小值是________.
13．已知點滿足，目標函式僅在點（1,0）處取得最小值，
則a的範圍為
14．對於任意實數和b，不等式恆成立，則實數x的取值範圍是
三、解答題（本大題共3小題，共38分）
15． （本題滿分12分）如圖，設橢圓（a＞1）.
（i）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a、k表示）；
（ii）若任意以點a（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值範圍.
16．（本題滿分12分）已知向量，設函式＋1
（1）若， ,求的值；
（2）在△abc中，角a，b，c的對邊分別是，且滿足，求f（b）的取值範圍．
17．（本題滿分14分）
頂點在座標原點，開口向上的拋物線經過點，過點作拋物線的切線交x軸於點b1，過點b1作x軸的垂線交拋物線於點a1，過點a1作拋物線的切線交x軸於點b2，…，過點作拋物線的切線交x軸於點．
（1）求數列，的通項公式；
（2）設，數列的前n項和為tn．求證：；
（3）設，若對於任意正整數n，不等式…≥成立，求正數a的取值範圍．
2018-2023年蓮塘二中「華羅庚盃賽」高三數學試題
一、選擇題（本題包括小題，每小題4分，共32分.）
1. a 2．c 3．ｄ 4．c 5．b. 6. b. 7．a 8．d
二、填空題（本題6小題，每小題5分，共30分.）
910. 28 11.
12． 13． 14．[—1，3]
三、解答題（本大題共3小題，共38分）
15.（i）設直線被橢圓截得的線段為，由得
，故，．
因此4分
（ii）假設圓與橢圓的公共點有個，由對稱性可設軸左側的橢圓上有兩個不同的點，，滿足．
記直線，的斜率分別為，，且，，．
由（i）知，
，，故，
所以．由於，，得，因此
， ①
因為①式關於，的方程有解的充要條件是
，所以 ．
因此，任意以點為圓心的圓與橢圓至多有個公共點的充要條件為
，由得，所求離心率的取值範圍為．………………12分
∵,∴；又∵，∴，即 6分
∴，即…………12分
17．21．（1）由已知得拋物線方程為2分
則設過點的切線為．
令，故．
又，所以4分
（ii）由（1）知．
所以1+6分
由，，得．
所以7分
從而，即9分（iii）由於，故．
對任意正整數n，不等式成立，
即恆成立．
設10分
則．故==所以，故遞增12分
則． 故．………14分
高三數學輔導試題
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高三數學試題
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