一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．複數-i的乙個立方根是i，它的另外兩個立方根是
ab．-± cd．±-
2．不等式組的解集為
abcd．
3．的三邊滿足等式，則此三角形必是
a．以為斜邊的直角三角形b．以為斜邊的直角三角形
c．等邊三角形d．其它三角形
4．若函式，滿足對任意的、，當時，
，則實數的取值範圍為
ab．cd．5．設、是方程的兩根，且，則的值為
abcd．
6．過曲線上一點的切線方程為
abcd．
7．如圖，在多面體abcdfe中，已知面abcd是邊長為3的正方形，ef∥ab，ef=，ef與面abcd的距離為2，則該多面體的體積為
ab．5c．6d．
8．如果n是正偶數，則c＋c＋…＋c＋c＝
a．2b．2c．2d．(n－1)2
9．等比的正數數列{}中，若，則=
a．12b．10c．8d．2+
10．雙曲線b2x2－a2y2=a2b2 (a>b>0)的漸近線夾角為α，離心率為e,則cos等於
a．eb．e2cd．
二．填空題：本大題共5小題，其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．每小題5分，滿分20分．
11．已知函式，那麼
12．如圖是乙個邊長為4的正方形及其內切圓，若隨機向正方形內丟一粒豆子，則豆子落入圓內的概率是________．
13．過拋物線的焦點f作一直線交拋物線交於p、q兩點，若線段pf、fq的長分別為p、q，則
14．(座標系與引數方程選做題)在直角座標系中圓的引數方程為（為引數），則圓的普通方程為________，以原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極座標系，則圓的圓心極座標為
15．(幾何證明選講選做題)如圖，是的切線，切點為，直線與交於、兩點，的平分線分別交直線、於、兩點，已知，，則
三．解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16．（本小題滿分12分）
記函式，，它們定義域的交集為，若對任意的,，則稱是集合的元素．
（ⅰ）判斷函式是否是的元素；
（ⅱ）設函式，求的反函式，並判斷是否是的元素．
17．（本小題滿分12分）
已知拋物線與直線相切於點．
（ⅰ）求的解析式；
（ⅱ）若對任意，不等式恆成立，求實數的取值範圍．
18．（本小題滿分14分）
如圖組合體中，三稜柱的側面是圓柱的軸截面，是圓柱底面圓周上不與、重合乙個點．
（ⅰ）求證：無論點如何運動，平面平面；
（ⅱ）當點是弧的中點時，求四稜錐與圓柱的體積比．
19．（本小題滿分14分）
已知數列滿足：且對任意的有．
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）是否存在等差數列，使得對任意的有成立？證明你的結論．
20．（本小題滿分14分）
如圖，在直角座標系中，已知橢圓的離心率e＝，左右兩個焦分別為．過右焦點且與軸垂直的．直線與橢圓相交m、n兩點，且|mn|=1．
（ⅰ） 求橢圓的方程；
（ⅱ）設橢圓的左頂點為a,下頂點為b，動點p滿足，（）試求點p的軌跡方程，使點b關於該軌跡的對稱點落在橢圓上．
21．（本小題滿分14分）
已知二次函式．
（ⅰ）若，試判斷函式零點個數；
（ⅱ）若對且，，試證明，使
成立． （ⅲ）是否存在，使同時滿足以下條件①對，且；②對，都有．若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．
參***
一．選擇題：dcdda ddbbc
解析：1．複數i的乙個輻角為900，利用立方根的幾何意義知，另兩個立方根的輻角分別是900+1200與900+2400，即2100與3300，故虛部都小於0，答案為d．
2．把x=3代入不等式組驗算得x=3是不等式組的解，則排除a、b，再把x=2代入不等式組驗算得x=2是不等式組的解，則排除d，所以選c．
3．在題設條件中的等式是關於與的對稱式，因此選項在a、b為等價命題都被淘汰，若選項c正確，則有，即，從而c被淘汰，故選d．
4．「對任意的x1、x2，當時，」實質上就是「函式單調遞減」的「偽裝」，同時還隱含了「有意義」．事實上由於在時遞減，從而由此得的取值範圍為，故選d．
5．由韋達定理知從而，
，故故選a．
6．當點a為切點時，所求的切線方程為，當a點不是切點時，所求的切線方程為故選d．
7．由已知條件可知，ef∥平面abcd，則f到平面abcd的距離為2，∴vf－abcd＝·32·2＝6，而該多面體的體積必大於6，故選d．
8．由二項展開式係數的性質有c＋c＋…＋c＋c＝2，選b．
9．取特殊數列=3，則==10，選b．
10．本題是考查雙曲線漸近線夾角與離心率的乙個關係式，故可用特殊方程來考察．取雙曲線方程為－=1，易得離心率e=，cos=，故選c．
二．填空題：11．； 12．；13．；14．，；15．，
解析：11．因為（定值），於是，，，又，故原式=．
12．因為正方形的面積是16，內切圓的面積是，所以豆子落入圓內的概率是．
13．設k = 0，因拋物線焦點座標為把直線方程代入拋物線方程得，∴，從而．
14．（略）
15．（略）
三．解答題：
16．解：（ⅰ）∵對任意，，∴．
∵不恆等於，∴．
（ⅱ）設．
①時，由解得．由解得其反函式為，；
②時，由解得．由解得其反函式為
，．∵， ∴．
17．解：（ⅰ）依題意，有，．因此，的解析式為；
（ⅱ）由（）得（），解之得（）．由此可得且，所以實數的取值範圍是．
18．（ⅰ）證明：因為側面是圓柱的的軸截面，是圓柱底面圓周上不與、重合乙個點，所以．又圓柱母線平面， 平面，所以．又，所以平面，
因為平面，所以平面平面．
（ⅱ）解：設圓柱的底面半徑為，母線長度為．當點是弧的中點時，三角形的面積為，三稜柱的體積為，三稜錐的體積為，四稜錐的體積為，圓柱的體積為，四稜錐與圓柱的體積比為．
19．解
∴數列是首項為（），公比為2的等比數列． ，
，∴數列是首項為1，公差為1的等差數列
（ⅱ）令代入得
解得．由此可猜想，即
下面用數學歸納法證明：
（1）當n＝1時，等式左邊＝1，右邊＝，當n＝1時，等式成立．
（2）假設當n＝k時，等式成立，即當n＝k＋1時，
∴當n＝k＋1時，等式成立．
綜上所述，存在等差數列，使得對任意的有成立．
20．解：（ⅰ）∵軸，∴，由橢圓的定義得．
∵，∴，又得 ∴ ，，∴，∴所求橢圓c的方程為．
（ⅱ）由（ⅰ）知點a(－2,0)，點b為（0，－1），設點p的座標為，則，，由－4得－，∴點p的軌跡方程為．
設點b關於p的軌跡的對稱點為，則由軸對稱的性質可得：，
解得．∵點在橢圓上，∴ ，整理得解得或．
∴點p的軌跡方程為或，經檢驗和都符合題設，∴滿足條件的點p的軌跡方程為或．
21．解：（ⅰ） ，，當時，函式有乙個零點；當時，，函式有兩個零點．
（ⅱ）令，則
在內必有乙個實根，即，使成立．
（ⅲ）假設存在，由①知拋物線的對稱軸為x＝－1，且，∴ ．由②知對,都有．令得．由得
當時，，其頂點為（－1，0）滿足條件①，又對，都有，滿足條件②．∴存在，使同時滿足條件①、②．
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