第十六講數列應用題
一． 知識歸納：
數列作為特殊的函式，在中學數學中占有相當重要的位置，涉及實際應用的問題廣泛而多樣，諸如銀行信貸、生產產品的增長率、分期付款等題型。
運用數列知識解決實際應用問題時，應在認真審題的基礎上，認準問題的哪一部分是數列問題？是那種數列（等差數列，等比數列）的問題？在a,d(或q),n,an,sn中哪些量是已知的，哪些量是待求的？
特別認準項數n為多少？
總之，充分運用觀察歸納猜想的手段，建立出有等差（比）數列、遞推數列的模型，再綜合運用其他相關知識來解決問題。
二． 例題講解：
【例1】 某城市2023年底人口為500萬，人均住房面積為6 m2，如果該城市每年人口平均增長率為1%，每年平均新增住房面積為30萬m2，求2023年底該城市人均住房面積為多少m2？(精確到0.01)
解：2023年、2023年、……2023年住房面積總數成ap
a1 = 6×500 = 3000萬m2，d = 30萬m2，
a10 = 3000 + 9×30 = 3270
2023年、2023年、……2023年人口數成gp
b1 = 500 , q = 1% ,
∴2023年底該城市人均住房面積為：
點評：實際問題中提煉出等差、等比數列。
【例2】 從盛有鹽的質量分數為20%的鹽水2 kg的容器中倒出1 kg鹽水，然後加入1 k**，以後每次都倒出1 kg鹽水，然後再加入1 k**，
問：1.第5次倒出的的1 kg鹽水中含鹽多少g？
2.經6次倒出後，一共倒出多少kg鹽？此時加1 k**後容器內鹽水的鹽的質量分數為多少？
解：1.每次倒出的鹽的質量所成的數列為，則：
a1= 0.2 kg , a2=×0.2 kg , a3= ()2×0.2 kg
由此可見：an= ()n1×0.2 kg , a5= ()51×0.2= ()4×0.2=0.0125 kg
2.由1.得是等比數列 a1=0.2 , q=
點評：掌握濃度問題中的數列知識。
【例3】流行**冒（簡稱流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病。某市去年11月份曾發生流感，據資料記載，11月1日，該市新的流感病毒感染者有20人，以後，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由於該市醫療部門採取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者減少30人，到11月30日止，該市在這30天內感染該病毒的患者共有8670人，問11月幾日，該市感染此病毒的新患者人數最多？
並求這一天的新患者人數。
分析：設11月n日這一天新感染者最多，則由題意可知從11月1日到n日，每天新感染者人數構成一等差數列；從n+1日到30日，每天新感染者構成另乙個等差數列。這兩個等差數列的和即為這個月總的感染人數。
略解：由題意，11月1日到n日，每天新感染者人數構成一等差數列an，a1=20,d1=50,11月n日新感染者人數an=50n—30；從n+1日到30日，每天新感染者人數構成等差數列bn,b1=50n-60,d2=—30，bn=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人數為b30-n=20(30-n)-30=-20n+570.
故共感染者人數為： =8670，化簡得：n2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日這一天感染者人數最多，為570人。
【例4】某工廠更新裝置,在2023年初貸款100萬元,從該年度末開始,每年度末償還一定的金額,計畫在10年內還清,年利率為13%,那麼每年需支付金額多少？
解法1：設每年償還金額為x萬元,
則第一年末貸款餘額為100(1+13%)－x,
第二年末貸款餘額為
[100(1+13%)－x](1+13%)－x=100(1+13%)2－[1+(1+13%)]x
第三年末貸款餘額為
(1+13%)－x
=100(1+13%)3－[1+(1+13%)+(1+13%)2]x
……∴第10年末貸款餘額為
100(1+13%)10－[1+(1+13%)+(1+13%)2+…+(1+13%)9]x
∴100(1+13%)10－[1+(1+13%)+(1+13%)2+…+(1+13%)9]x=0
解得：x==14.5萬元
解法2：10年內,借款的本利和為100(1+13%)10萬元,設每年償還金額為x萬元,則還款的本利和為
x[(1+13%)9+(1+13%)8+…+(1+13%)+1]萬元,
由借款本利和等於這款的本利和,可得
100(1+13%)10 =x[(1+13%)9+(1+13%)8+…+(1+13%)+1]
∴x==14.5萬元。
點評：理解記憶分期付款中建立方程的依據.
【例5】有乙個細胞集團，每小時死亡2個，餘下的各個**成2個，設最初有細胞7個，問n小時後有多少個細胞？
解：設n小時後的細胞總數為an，則a0=7，且an+1=2(an-2)，即an+1-4=2(an-4)，數列是首項為a0-4=3，公比為2的等比數列，∴an=3·2n+4 (n∈n)。因此，第n個小時後的細胞總數為3·2n+4個。
【例6】某企業2023年的純利潤為500萬元，因裝置老化等原因，企業的生產能力將逐年下降.若不能進行技術改造，**從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業一次性投入資金600萬元進行技術改造，**在未扣除技術改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為500(1+)萬元（n為正整數）.
（ⅰ）設從今年起的前n年，若該企業不進行技術改造的累計純利潤為an萬元，進行技術改造後的累計純利潤為bn萬元（須扣除技術改造資金），求an、bn的表示式；
（ⅱ）依上述**，從今年起該企業至少經過多少年，進行技術改造後的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤？
. 解：（ⅰ）依題設，an=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n2；
bn=500[(1+)+(1+)+…+(1+)]－600=500n－－100.
（ⅱ）bn－an=(500n－－100) －(490n－10n2)
=10n2+10n－－100=10[n(n+1) － －10].
因為函式y=x(x+1) －－10在（0，+∞）上為增函式，
當1≤n≤3時，n(n+1) － －10≤12－－10<0；
當n≥4時，n(n+1) － －10≥20－－10>0.
∴僅當n≥4時，bn>an.
答：至少經過4年，該企業進行技術改造後的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤.
點評：.本小題主要考查建立函式關係式、數列求和、不等式的等基礎知識，考查運用數學知識解決實際問題的能力．
16.數列應用題
1：同樣載重量的若干輛汽車運送一批貨物,若同時投入運送,24小時可以全部送完這批貨;若每隔相同的時間投入一輛車,而且每輛車投入運送後要工作到全部貨物運完,已知最後所有的車輛都投入了運送,且第一輛車工作的時間是最後一輛車的5倍.這種運送方式共持續了多長時間？
2：為了保護某處珍貴文物古蹟,**決定建一堵大理石護牆,設計時,為了與周邊景點協調,對於同種規格的大理石用量須按下述法則計算：第一層用全部大理石的一半多一塊,第二層用剩下的一半多一塊,第三層…依次類推,到第十層恰好將石塊用完,問共需大理石多少塊？
每層各用大理石多少塊？
3：2023年,某內河可供船隻航行的河段長1000公里,但由於水資源的過度使用,促使河水斷流,從2023年起,該內河每年船隻可行駛的河段長度僅為上一年的三分之二,試求
(1)到2023年,該內河可行駛的河段長度為多少公里？
(2)若有一條船每年在該內河上行駛乙個來回, 問從2023年到2023年這條船航行的總路程為多少公里？
4：戶,一月初向銀行貸款10萬元作開店資金,每月底獲得的利潤是該月初投入資金的20%,每月需交所得稅為該月所得金額(含利潤)的10%,每月生活費和其它開支三千元,餘款作為資金全部投入再營業.如此繼續,問到這一年底,這位個體戶還清銀行貸款後,純收入還有多少？
５：某職工年初向銀行貸款２元用於購房，銀行為了推動住房制度改革，貸款的優惠年利率為10％，按複利計算，若這筆貸款要求10次等額還清，每年一次，10年還清，並且從貸款後次年年初開始歸還，問每年應還多少元？
16數列應用題答案與提示
１．分析：每輛車隔相同的時間投入使用,那麼它們的工作時間t1,t2,…tn構成了乙個等差數列,且有t1 =5tn ;因為全部同時投入運送時,24小時運完,那麼每輛車的工作效率為,所以有·t1+·t2+…+·tn=1
解：由上面的分析可知：, 即
得t1=40.所以這次運送共持續了40小時.
２．解：設共用去大理石塊,則各層用大理石塊數分別為：
第一層： +1= 第二層： +1=
第三層： +1=
……第十層： +1=
組成首項為,公比為,項數為10的等比數列,所以x=++…+
解得x=2046
３. 2.(1)a1=1000,an=,為一等比數列,an=1000×,所以到2023年,該內河可行駛船隻的河段長度為a10=1000×公里
(2)由於sn=2(a1+a2+…+an)=2=6000所以從2023年到2023年這條船航行的總路程為sn=6000公里
４.設第n個月底餘額為an ,由於a1=(1+20%)×105－(1+20%)×105×10%－3×103=1.05×105,
an+1=an(1+20%)－an(1+20%)－3×103=1.08 an－3×103
an+1+3.75×104=1.08(an+3.75×104)
an+3.75×104=bn ,b1=1.425×105 ,為等比數列,
bn=b1×1.08n－1 ,an=1.425×105×1.08n－1－3.75×104 ,
a12=1.94886×105,還貸後純收入為a12－105×(1+25%)=69886元
5.3225元.
應用題習題
5，某漁業公司今年初用98萬元購進一艘漁船用於捕撈，第一年需各種費用12萬元，從第二年開始包括維修費在內，每年所需費用均比上一年增加4萬元。該船捕撈總收入預計每年50萬元。1 該船捕撈幾年開始盈利 即總收入減去成本及所有費用之差為正 2 該船捕撈若干年後，處理方案有兩種 當年平均盈利達到最大值時，以...
應用題複習
1 一塊棉花地，去年收皮棉30噸，比前年增產了5噸。這塊棉花地皮棉產量增長了幾成？2 小明家離學校有1400公尺，他每天騎自行車回家，自行車的輪胎直徑是70厘公尺，如果自行車每分鐘轉80圈，小明多長時間可以到家？3 王鋼把10000元人民幣存入銀行，定期3年，年利率是2.7 到期時，王鋼應得本金和利...
應用題方案複習
函式型問題 練習五1 我市移動通訊公司開設了兩種通訊業務，a類是固定使用者 先繳50元基礎費，然後每通話1分鐘再付話費0.4元 b類是 神州行 使用者 使用者不繳月租費，每通話1分鐘通話費0.6元 這裡均指市內通話 若乙個月內通話時間為分鐘，分別設a類和b類兩種通訊方式的費用為，1 寫出 與之間的函...