2023年研究生入學考試數學二試題
一、選擇題：1～10小題，每小題4分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題後的括號內.
（1）當時，與等價的無窮小量是
（a） （b） （c） （d
（2）函式在上的第一類間斷點是
（a）0b）1c） （d）
（3）如圖，連續函式在區間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區間的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設，則下列結論正確的是：
（ab（cd（4）設函式在處連續，下列命題錯誤的是：
（a）若存在，則 （b）若存在，則 .
（b）若存在，則（d）若存在，則.
（5）曲線的漸近線的條數為
（a）0b）1. （c）2d）3
（6）設函式在上具有二階導數，且，令，則下列結論正確的是：
(a) 若，則必收斂. (b) 若，則必發散
(c) 若，則必收斂. (d) 若，則必發散
（7）二元函式在點處可微的乙個充要條件是
（a）.
（b）.
（c）.
（d）.
（8）設函式連續，則二次積分等於
（ab）
（cd）
（9）設向量組線性無關，則下列向量組線性相關的是
線性相關，則
(ab)
(c). (d
（10）設矩陣，則與
(a) 合同且相似b）合同，但不相似.
(c) 不合同，但相似d) 既不合同也不相似
二、填空題：11～16小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.
（11（12）曲線上對應於的點處的法線斜率為
（13）設函式，則________.
（14） 二階常係數非齊次微分方程的通解為________.
（15） 設是二元可微函式，，則
（16）設矩陣，則的秩為
三、解答題：17～24小題，共86分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
（17） (本題滿分10分)
設是區間上單調、可導的函式，且滿足，其中是的反函式，求.
（18）（本題滿分11分）
設是位於曲線下方、軸上方的無界區域.
（ⅰ）求區域繞軸旋轉一周所成旋轉體的體積；
（ⅱ）當為何值時，最小？並求此最小值.
（19）（本題滿分10分）求微分方程滿足初始條件的特解
（20）（本題滿分11分）已知函式具有二階導數，且，函式由方程所確定，設，求.
（21） (本題滿分11分)
設函式在上連續，在內具有二階導數且存在相等的最大值，，證明：存在，使得.
（22） (本題滿分11分)
設二元函式，計算二重積分，其中.
（23） (本題滿分11分
設線性方程組與方程有公共解，求的值及所有公共解.
1….【分析】本題為等價無窮小的判定，利用定義或等價無窮小代換即可.
【詳解】當時，，，，
故用排除法可得正確選項為（b）.
事實上，，
或.所以應選（b）
【評注】本題為關於無窮小量比較的基本題型，利用等價無窮小代換可簡化計算.
類似例題見《數學複習指南》（理工類）第一篇【例1.54】 【例1.55】.
2…【分析】因為函式為初等函式，則先找出函式的無定義點，再根據左右極限判斷間斷點的型別.
【詳解】函式在均無意義，
而；；.
所以為函式的第一類間斷點，故應選（a）.
【評注】本題為基礎題型. 對初等函式來講，無定義點即為間斷點，然後再根據左右極限判斷間斷點的型別；對分段函式來講，每一分段支中的無定義點為間斷點，而分段點也可能為間斷點，然後求左右極限進行判斷.
類似例題見文登強化班筆記《高等數學》第1講【例4】和【例5】，《數學複習指南》（理工類）第一篇【例1.49－1.51】
3……【分析】本題實質上是求分段函式的定積分.
【詳解】利用定積分的幾何意義，可得
，，.所以，故選（c）.
【評注】本題屬基本題型. 本題利用定積分的幾何意義比較簡便.
類似例題見文登強化班筆記《高等數學》第5講【例17】和【例18】，《數學複習指南》（理工類）第一篇【例3.39】【例3.40】.
4……【分析】本題考查可導的極限定義及連續與可導的關係. 由於題設條件含有抽象函式，本題最簡便的方法是用賦值法求解，即取符合題設條件的特殊函式去進行判斷，然後選擇正確選項.
【詳解】取，則，但在不可導，故選（d）.
事實上，
在(a),(b)兩項中，因為分母的極限為0，所以分子的極限也必須為0，則可推得.
在（c）中，存在，則，所以(c)項正確，故選(d)
【評注】對於題設條件含抽象函式或備選項為抽象函式形式結果以及數值型結果的選擇題，用賦值法求解往往能收到奇效.
完全類似例題見文登強化班筆記《高等數學》第2講【例2】，文登07考研模擬試題數學二第一套（2）.
5……【分析】利用曲線的漸近線的求解公式求出水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線，然後判斷.
【詳解】，
所以是曲線的水平漸近線；
，所以是曲線的垂直漸近線；
，，所以是曲線的斜漸近線.
故選（d）.
【評注】本題為基本題型，應熟練掌握曲線的水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線的求法.注意當曲線存在水平漸近線時，斜漸近線不存在. 本題要注意當時的極限不同.
類似例題見文登強化班筆記《高等數學》第6講第4節【例12】，《數學複習指南》（理工類）第一篇【例6.30】，【例6.31】.
6……【分析】本題依據函式的性質，判斷數列. 由於含有抽象函式，利用賦值法舉反例更易得出結果.
【詳解】選（d）.
取，，，而發散，則可排除（a）；
取，，，而收斂，則可排除（b）；
取，，，而發散，則可排除（c）；
故選（d）.
事實上，
若，則.
對任意，因為，所以，
對任意，.
故選（d）.
【評注】對於含有抽象函式的問題，通過舉符合題設條件的函式的反例可簡化計算.
類似例題見文登強化班筆記《高等數學》第1講【例24】，《數學複習指南》（理工類）第一篇【例1.22】.
7…….【分析】本題考查二元函式可微的充分條件. 利用可微的判定條件及可微與連續，偏導的關係.
【詳解】本題也可用排除法，（a）是函式在連續的定義；（b）是函式在處偏導數存在的條件；（d）說明一階偏導數存在，但不能推導出兩個一階偏導函式在點(0,0) 處連續，所以（a）（b）（d）均不能保證在點處可微. 故應選（c）.
事實上，
由可得，即
同理有從而
根據可微的判定條件可知函式在點處可微，故應選(c).
【評注】二元函式連續或偏導數存在均不能推出可微，只有當一階偏導數連續時，才可微.
類似例題見文登強化班筆記《高等數學》第9講【例3－例5】，《數學複習指南》（理工類）第一篇【例8.11】.
8,……【分析】本題更換二次積分的積分次序，先根據二次積分確定積分區域，然後寫出新的二次積分.
【詳解】由題設可知，，則，
故應選（b）.
【評注】本題為基礎題型. 畫圖更易看出.
類似例題見文登強化班筆記《高等數學》第10講【例5】，《數學複習指南》（理工類）第一篇【例10.6】，【例10.7】.
9……..【分析】本題考查由線性無關的向量組構造的另一向量組的線性相關性. 一般令，若，則線性相關；若，則線性無關.
但考慮到本題備選項的特徵，可通過簡單的線性運算得到正確選項.
【詳解】由可知應選（a）.
或者因為
，而， 所以線性相關，故選（a）.
【評注】本題也可用賦值法求解，如取，以此求出（a），（b），（c），（d）中的向量並分別組成乙個矩陣，然後利用矩陣的秩或行列式是否為零可立即得到正確選項.
完全類似例題見文登強化班筆記《線性代數》第3講【例3】，《數學複習指南》（理工類）第二篇【例3.3】.
10….【分析】本題考查矩陣的合同關係與相似關係及其之間的聯絡，只要求得的特徵值，並考慮到實對稱矩陣必可經正交變換使之相似於對角陣，便可得到答案.
【詳解】 由可得，
所以的特徵值為3,3,0；而的特徵值為1,1,0.
所以與不相似，但是與的秩均為2，且正慣性指數都為2，所以與合同，故選（b）.
【評注】若矩陣與相似，則與具有相同的行列式，相同的秩和相同的特徵值.
所以通過計算與的特徵值可立即排除（a）（c）.
完全類似例題見《數學複習指南》（理工類）第二篇【例5.17】.
11…【分析】本題為未定式極限的求解，利用洛必達法則即可.
【詳解】
.【評注】本題利用了洛必達法則. 本題還可用泰勒級數展開計算.
因為，所以.
完全類似例題見文登強化班筆記《高等數學》第1講【例17】，《數學複習指南》（理工類）第一篇【例1.31】.
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