１．當時，若，均是比高階的無窮小，則的可能取值範圍是（ ）
（a） （b） （c） （d）
【詳解】，是階無窮小，是階無窮小，由題意可知
所以的可能取值範圍是，應該選（b）．
2．下列曲線有漸近線的是
（a） （b）（c） （d）
【詳解】對於，可知且，所以有斜漸近線
應該選（c）
3．設函式具有二階導數，，則在上（ ）
（a）當時， （b）當時，
（c）當時， （d）當時，
【分析】此題考查的曲線的凹凸性的定義及判斷方法．
【詳解1】如果對曲線在區間上凹凸的定義比較熟悉的話，可以直接做出判斷． 顯然就是聯接兩點的直線方程．故當時，曲線是凹的，也就是，應該選（d）
【詳解2】如果對曲線在區間上凹凸的定義不熟悉的話，可令，則，且，故當時，曲線是凹的，從而，即，也就是，應該選（d）
4．曲線上對應於的點處的曲率半徑是（ ）
【詳解】 曲線在點處的曲率公式，曲率半徑．
本題中，所以，，
對應於的點處，所以，曲率半徑．
應該選（c）
5．設函式，若，則（ ）
【詳解】注意（1），（2）．
由於．所以可知，，
．6．設在平面有界閉區域d上連續，在d的內部具有二階連續偏導數，且滿足及，則（ ）．
（a）的最大值點和最小值點必定都在區域d的邊界上；
（b）的最大值點和最小值點必定都在區域d的內部；
（c）的最大值點在區域d的內部，最小值點在區域d的邊界上；
（d）的最小值點在區域d的內部，最大值點在區域d的邊界上．
【詳解】在平面有界閉區域d上連續，所以在d內必然有最大值和最小值．並且如果在內部存在駐點，也就是，在這個點處，由條件，顯然，顯然不是極值點，當然也不是最值點，所以的最大值點和最小值點必定都在區域d的邊界上．
所以應該選（a）．
7．行列式等於
（a） （b） （c） （d）
【詳解】
應該選（b）．
8．設是三維向量，則對任意的常數，向量，線性無關是向量線性無關的
（a）必要而非充分條件b）充分而非必要條件
（c）充分必要條件d） 非充分非必要條件
【詳解】若向量線性無關，則
（，），對任意的常數，矩陣的秩都等於2，所以向量，一定線性無關．
而當時，對任意的常數，向量，線性無關，但線性相關；故選擇（a）．
9【詳解】．
10．設為週期為4的可導奇函式，且，則
【詳解】當時，，由可知，即；為週期為4奇函式，故．
11．設是由方程確定的函式，則
【詳解】設，，當時，，，，所以．
12．曲線的極座標方程為，則在點處的切線方程為
【詳解】先把曲線方程化為引數方程，於是在處，，，則在點處的切線方程為，即
13．一根長為1的細棒位於軸的區間上，若其線密度，則該細棒的質心座標 ．
【詳解】質心座標．
14．設二次型的負慣性指數是1，則的取值範圍是
【詳解】由配方法可知
由於負慣性指數為1，故必須要求，所以的取值範圍是．
15．（本題滿分10分）
求極限．
【分析】．先用等價無窮小代換簡化分母，然後利用洛必達法則求未定型極限．
【詳解】
16．（本題滿分10分）
已知函式滿足微分方程，且，求的極大值和極小值．
【詳解】
解：把方程化為標準形式得到，這是乙個可分離變數的一階微分方程，兩邊分別積分可得方程通解為：，由得，
即． 令，得，且可知；
當時，可解得，，函式取得極大值；
當時，可解得，，函式取得極小值．
17．（本題滿分10分）
設平面區域．計算
【詳解】由對稱性可得
18．（本題滿分10分）
設函式具有二階連續導數，滿足．若，求的表示式．
【詳解】
設，則，;；
由條件，
可知這是乙個二階常用係數線性非齊次方程．
對應齊次方程的通解為：
其中為任意常數．
對應非齊次方程特解可求得為．
故非齊次方程通解為．
將初始條件代入，可得．
所以的表示式為．
19．（本題滿分10分）
設函式在區間上連續，且單調增加，，證明：
（1） ；
（2） ．
【詳解】
（1）證明：因為，所以．
即．（2）令，
則可知，且，
因為且單調增加，
所以．從而
，也是在單調增加，則，即得到
．20．（本題滿分11分）
設函式，定義函式列
，， 設是曲線，直線所圍圖形的面積．求極限．
【詳解】
，，利用數學歸納法可得，．
21．（本題滿分11分）
已知函式滿足，且，求曲線所成的圖形繞直線旋轉所成的旋轉體的體積．
【詳解】
由於函式滿足，所以，其中為待定的連續函式．
又因為，從而可知，
得到．令，可得．且當時，．
曲線所成的圖形繞直線旋轉所成的旋轉體的體積為
22．（本題滿分11分）
設，e為三階單位矩陣．
（1） 求方程組的乙個基礎解系；
（2） 求滿足的所有矩陣．
【詳解】（1）對係數矩陣a進行初等行變換如下：
，得到方程組同解方程組
得到的乙個基礎解系．
（2）顯然b矩陣是乙個矩陣，設
對矩陣進行進行初等行變換如下：
由方程組可得矩陣b對應的三列分別為
，，，即滿足的所有矩陣為
其中為任意常數．
23．（本題滿分11分）
證明階矩陣與相似．
【詳解】證明：設， ．
分別求兩個矩陣的特徵值和特徵向量如下：
，所以a的個特徵值為；
而且a是實對稱矩陣，所以一定可以對角化．且；
所以b的個特徵值也為；
對於重特徵值，由於矩陣的秩顯然為1，所以矩陣b對應重特徵值的特徵向量應該有個線性無關，進一步矩陣b存在個線性無關的特徵向量，即矩陣b一定可以對角化，且
從而可知階矩陣與相似．
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