2023年全國碩士研究生入學統一考試數學三試題
一、選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個選項中，只有乙個選項是符合題目要求的
（1）若函式在處連續，則（ ）
【答案】a
【解析】在處連續
(2)二元函式的極值點（ ）
(abcd)
【答案】d
【解析】
(3)設函式可導，且則（ ）
(ab)
(cd)
【答案】c
【解析】或，只有c選項滿足且滿足，所以選c。
(4)若級數收斂，則
(a) 1b) 2c) -1d) -2
【解析】
(5) 設是維單位列向量，為階單位矩陣，則（ ）
(a) 不可逆b) 不可逆
(c) 不可逆d)不可逆
【答案】a
【解析】 選項a,由得有非零解，故.即不可逆.
選項b,由得的特徵值為n-1個0，1.故的特徵值為n-1個1，2.故可逆.
其它選項類似理解.
(6)已知矩陣 ，則
(a) a與c相似，b與c相似 (b) a與c相似，b與c不相似
(c) a與c不相似，b與c相似 (d) a與c不相似，b與c不相似
【答案】b
【解析】由可知a的特徵值為2,2,1.
因為，∴a可相似對角化，且.
由可知b特徵值為2,2,1.
因為，∴b不可相似對角化，顯然c可相似對角化，
∴，且b不相似於c.
(7)設為三個隨機事件，且與相互獨立，與相互獨立，則與相互獨立的充要條件是
(a) 與相互獨立
(b) 與互不相容
(c) 與相互獨立
(d) 與互不相容
【答案】c
【解析】
(8)設來自總體的簡單隨機樣本，記， 則下列結論中不正確的是：
(a) 服從分布
(b) 服從分布
(c) 服從分布
(d) 服從分布
【答案】b
【解析】
由於找不正確的結論，故b符合題意.
二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分。
(9【解析】
(10) 差分方程的通解
【解析】
代入原方程得 .
(11) 設生產某產品的平均成本，其中為產量，則邊際成本為
【解析】.
(12)設函式具有一階連續偏導數，且，則
【解析】
(13) 設矩陣，為線性無關的3維列向量組，則向量組的秩為
【解析】由線性無關，可知矩陣可逆，故
再由得 (14) 設隨機變數的概率分布為，，若則 .
【解析】
三、解答題：15~23小題，共94分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
(15)求
【解析】..
(16) 計算積分，其中d是第一象限中曲線與x軸邊界的無界區域.
【解析】 .
(17) 求.
【解析】
.(18) 已知方程在區間內有實根，求k的範圍.
【解析】
(19)若，，，為冪級數的和函式.
(1) 證明的收斂半徑不小於1
(2) 證明，並求的表示式
【解析】（1）;.
（2）..
(20)設2階矩陣有3個不同的特徵值，且.
（i）證;
(ii) ,求的通解.
【解析】
（i）證明：由可得，即線性相關，
因此，，即a的特徵值必有0.
又因為a有三個不同的特徵值，則三個特徵值中只有1個0，另外兩個非0.
且由於a必可相似對角化，則可設其對角矩陣為
∴（ii）由（1），知，即的基礎解系只有1個解向量.
由可得，則的基礎解系為.
又，即，則的乙個特解為.
綜上，的通解為.
(21)設二次型在正交變換下的標準型為，求的值及乙個正交矩陣。
【解析】，其中.
由於經正交變換後，得到的標準形為，
故，將代入，滿足，因此符合題意，此時，則
，由，可得a的屬於特徵值-3的特徵向量為；
由，可得a的屬於特徵值6的特徵向量為
由，可得a的屬於特徵值0的特徵向量為
令，則，由於彼此正交，故只需單位化即可：則，..
(22) 設隨機變數相互獨立，且的概率分布為，的概率密度為.
求; 求的概率密度.
【解析】
（1）當，而，則；
（2）當即時，；
（3）當時，；
（4）當時，；
（5）當時，.
所以綜上
所以. (23)（本題滿分11分）
某工程師為了解一台天平的精度，用該天平對一物體的質量做n次測量，該物體的質量是已知的，設n次測量結果相互獨立，且均服從正態分佈，該工程師記錄的是n次測量的絕對誤差，利用估計
(i) 求的概率密度；
(ii) 利用一階矩求的矩估計量；
(iii) 求的最大似然估計量.
【解析】
當;當;
當時，.
綜上令.
由此可得的矩估計量.
(iii) 對總體的個樣本，則相應的絕對誤差的樣本
令其樣本值為則對應的似然函式
兩邊取對數，當時
.令，所以，為所求的最大似然估計.
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