2023年全國碩士研究生入學統一考試
數學三試題
一． 選擇題（本題共10分小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在後邊的括號內）
（1） 當時，與等價的無窮小量是（ ）
（2） 設函式在處連續，下列命題錯誤的是
.若存在，則若存在，則
.若存在，則存在若存在，則存在
（3） 如圖.連續函式在區間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區間上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設則下列結論正確的是：（ ）
.（4） 設函式連續，則二次積分等於（ ）
（5） 設某商品的需求函式為，其中，分別表示需要量和**，如果該商品需求彈性的絕對值等於1，則商品的**是（ ）
1020 3040
（6） 曲線漸近線的條數為（ ）
0123
（7）設向量組線性無關，則下列向量組線相關的是( )
（ab)
（cd)
（8）設矩陣，則a與b（ ）
（a）合同，且相似b) 合同，但不相似
(c) 不合同，但相似d) 既不合同，也不相似
(9)某人向同一目標獨立重複射擊，每次射擊命中目標的概率為，則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為 ( )
(10) 設隨機變數服從二維正態分佈，且與不相關，分別表示x, y的概率密度，則在條件下，的條件概率密度為( )
（ab)
(cd)
二、填空題：11-16小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上
（11）.
（12）設函式，則.
（13）設是二元可微函式，則________.
（14）微分方程滿足的特解為
（15）設距陣則的秩為_______.
(16)在區間(0,1)中隨機地取兩個數,這兩數之差的絕對值小於的概率為________.
三、解答題：17－24小題，共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
（17）（本題滿分10分）
設函式由方程確定，試判斷曲線在點（1，1）附近的凹凸性.
（18）（本題滿分11分）
設二元函式
計算二重積分其中
（19）（本題滿分11分）
設函式，在上內二階可導且存在相等的最大值，又＝，＝，證明：
（ⅰ）存在使得；
（ⅱ）存在使得
（20）（本題滿分10分）
將函式展開成的冪級數，並指出其收斂區間.
（22）（本題滿分11分）
設3階實對稱矩陣a的特徵值是a的屬於的乙個特徵向量.記，其中e為3階單位矩陣.
（ⅰ）驗證是矩陣b的特徵向量，並求b的全部特徵值與特徵向量；
（ⅱ）求矩陣b.
（23）（本題滿分11分）
設二維隨機變數的概率密度為
（ⅰ）求；
（ⅱ）求的概率密度.
（24）（本題滿分11分）
設總體的概率密度為
.其中引數未知，是來自總體的簡單隨機樣本，是樣本均值.
（ⅰ）求引數的矩估計量；
（ⅱ）判斷是否為的無偏估計量，並說明理由.
一、選擇題（本題共10分小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在後邊的括號內）
（7） 當時，與等價的無窮小量是（b）
（8） 設函式在處連續，下列命題錯誤的是： (d)
.若存在，則若存在，則
.若存在，則存在若存在，則存在
（9） 如圖.連續函式在區間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區間上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設則下列結論正確的是：（c ）
.（10） 設函式連續，則二次積分等於（b）
（11） 設某商品的需求函式為，其中，分別表示需要量和**，如果該商品需求彈性的絕對值等於1，則商品的**是（d）
1020 3040
（12） 曲線漸近線的條數為（d）
0123
（7）設向量組線性無關，則下列向量組線相關的是a)
（ab)
(cd)
（8）設矩陣，則a與b（b）
（a）合同，且相似b) 合同，但不相似
(c) 不合同，但相似d) 既不合同，也不相似
(9)某人向同一目標獨立重複射擊，每次射擊命中目標的概率為，則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為 (c)
(10) 設隨機變數服從二維正態分佈，且與不相關，分別表示x, y的概率密度，則在條件下，的條件概率密度為a)
（ab)
(cd)
二、填空題：11-16小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上
（11）.
（12）設函式，則.
（13）設是二元可微函式，則.
（14）微分方程滿足的特解為.
（15）設距陣則的秩為＿＿1＿＿＿.
(16)在區間(0,1)中隨機地取兩個數,這兩數之差的絕對值小於的概率為＿＿.
三、解答題：17－24小題，共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
（17）（本題滿分10分）
設函式由方程確定，試判斷曲線在點（1，1）附近的凹凸性.
【詳解】：
（18）（本題滿分11分）
設二元函式
計算二重積分其中
【詳解】：積分區域d如圖，不難發現d分別關於x軸和y軸對稱，設是d在第一象限中的部分，即
利用被積函式無論關於x軸還是關於y軸對稱，從而按二重積分的簡化計算法則可得
設，其中
於是 由於，故
為計算上的二重積分，可引入極座標滿足.在極座標系中的方程是的方程是，，因而
，故令作換元，則，於是且
，代入即得
綜合以上計算結果可知
（19）（本題滿分11分）
設函式，在上內二階可導且存在相等的最大值，又＝，＝，證明：
（ⅰ）存在使得；
（ⅱ）存在使得
【詳解】：證明：(1)設在內某點同時取得最大值，則，此時的c就是所求點.若兩個函式取得最大值的點不同則有設故有，由介值定理，在內肯定存在
(2)由(1)和羅爾定理在區間內分別存在一點＝0在區間內再用羅爾定理，即.
（20）（本題滿分10分）
將函式展開成的冪級數，並指出其收斂區間.
【詳解】：
【詳解】：因為方程組(1)、(2)有公共解，即由方程組(1)、(2)組成的方程組
的解.即距陣方程組(3)有解的充要條件為.
當時，方程組(3)等價於方程組(1)即此時的公共解為方程組(1)的解.解方程組(1)的基礎解系為此時的公共解為：
當時，方程組(3)的係數距陣為此時方程組(3)的解為，即公共解為：
（22）（本題滿分11分）
設3階實對稱矩陣a的特徵值是a的屬於的乙個特徵向量.記，其中e為3階單位矩陣.
（ⅰ）驗證是矩陣b的特徵向量，並求b的全部特徵值與特徵向量；
（ⅱ）求矩陣b.
【詳解】：
（ⅰ）可以很容易驗證，於是
於是是矩陣b的特徵向量.
b的特徵值可以由a的特徵值以及b與a的關係得到，即
，所以b的全部特徵值為－2，1，1.
前面已經求得為b的屬於－2的特徵值，而a為實對稱矩陣，
於是根據b與a的關係可以知道b也是實對稱矩陣，於是屬於不同的特徵值的特徵向量正交，設b的屬於1的特徵向量為，所以有方程如下：
於是求得b的屬於1的特徵向量為
因而，矩陣b屬於的特徵向量是是，其中是不為零的任意常數.
矩陣b屬於的特徵向量是是，其中是不為零的任意常數.
（ⅱ）由有
令矩陣，
則，所以
那麼（23）（本題滿分11分）
設二維隨機變數的概率密度為
（ⅰ）求；
（ⅱ）求的概率密度.
【詳解】：
（ⅰ），其中d為中的那部分區域；
求此二重積分可得
（ⅱ） 當時，；
當時，；
當時，當時，於是（24）（本題滿分11分）
設總體的概率密度為
.其中引數未知，是來自總體的簡單隨機樣本，是樣本均值.
（ⅰ）求引數的矩估計量；
（ⅱ）判斷是否為的無偏估計量，並說明理由.
【詳解】：
（ⅰ）記，則
解出，因此引數的矩估計量為；
（ⅱ）只須驗證是否為即可，而
，而，，，於是
因此不是為的無偏估計量.
2023年全國碩士研究生入學統一考試
數學三試題
一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題後的括號內.
（1）設函式在區間上連續，則是函式的（ ）
跳躍間斷點可去間斷點.
無窮間斷點振盪間斷點.
（2）曲線段方程為，函式在區間上有連續的導數，則定積分等於（ ）
曲邊梯形面積梯形面積.
曲邊三角形面積三角形面積.
（3）已知，則
（a），都存在 （b）不存在，存在
（c）不存在，不存在 （d），都不存在
考研數三年 歷年真題答案詳解 版
一 填空題 本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上 2 已知曲線與x軸相切，則可以通過a表示為 3 設a 0，而d表示全平面，則 4 設n維向量 e為n階單位矩陣，矩陣 其中a的逆矩陣為b，則a 5 設隨機變數x 和y的相關係數為0.9,若，則y與z的相關係數為 6 設總體x服從...
考研數三完整版 歷年真題 答案詳解 真題之2019
2006年全國碩士研究生入學統一考試 數學三試題 一 填空題 1 6小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.1 2 設函式在的某鄰域內可導,且，則 3 設函式可微,且,則在點 1,2 處的全微分 4 設矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則 5 設隨機變數相互獨立，且均服從區間上的均勻分布，則...
2023年考研數學 三 真題含答案詳解
2015年全國碩士研究生入學統一考試數學 三 試題解析 一 選擇題 18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有乙個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.1 設是數列,下列命題中不正確的是 a 若,則 b 若,則 c 若,則 d 若,則 答案 d 解析 答案為...