2023年全國碩士研究生入學統一考試
數學三試題
一、 填空題：1－6小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.
（1）（2）設函式在的某鄰域內可導,且，，則
（3）設函式可微,且,則在點(1,2)處的全微分
（4）設矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則 .
（5）設隨機變數相互獨立，且均服從區間上的均勻分布，則_______.
（6）設總體的概率密度為為總體的簡單隨機樣本，其樣本方差為，則
二、選擇題：7－14小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題後的括號內.
（7）設函式具有二階導數，且，為自變數在點處的增量，分別為在點處對應的增量與微分，若，則
(ab) .
(cd（8）設函式在處連續，且，則
(a) 存在b) 存在
(c) 存在d)存在
（9）若級數收斂，則級數
(a) 收斂b）收斂.
(c) 收斂d) 收斂
（10）設非齊次線性微分方程有兩個不同的解為任意常數，則該方程的通解是
（11）設均為可微函式，且，已知是在約束條件下的乙個極值點，下列選項正確的是
(a) 若，則.
(b) 若，則.
(c) 若，則.
(d) 若，則
（12）設均為維列向量，為矩陣，下列選項正確的是
(a) 若線性相關，則線性相關.
(b) 若線性相關，則線性無關.
(c) 若線性無關，則線性相關.
(d) 若線性無關，則線性無關
（13）設為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則
（14）設隨機變數服從正態分佈，服從正態分佈，且
則必有(ab)
(cd三 、解答題：15－23小題，共94分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
（15）（本題滿分7分）
設,求(ⅰ) ；
(ⅱ) .
（16）（本題滿分7分）
計算二重積分，其中是由直線所圍成的平面區域.
（17）（本題滿分10分）
證明：當時，
. （18）（本題滿分8分）
在座標平面上，連續曲線過點，其上任意點處的切線斜率與直線的斜率之差等於（常數）.
(ⅰ) 求的方程；
(ⅱ) 當與直線所圍成平面圖形的面積為時，確定的值.
（19）（本題滿分10分）
求冪級數的收斂域及和函式.
（20）（本題滿分13分）
設4維向量組 ，問為何值時線性相關?當線性相關時,求其乙個極大線性無關組,並將其餘向量用該極大線性無關組線性表出.
（21）（本題滿分13分）
設3階實對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個解.
(ⅰ)求的特徵值與特徵向量；
(ⅱ)求正交矩陣和對角矩陣,使得；
（ⅲ）求及，其中為3階單位矩陣.
（22）（本題滿分13分）
設隨機變數的概率密度為
，令為二維隨機變數的分布函式.
(ⅰ)求的概率密度；
(ⅱ)；
(ⅲ).
（23）（本題滿分13分）
設總體的概率密度為
其中是未知引數，為來自總體的簡單隨機樣本，記為樣本值中小於1的個數.
（ⅰ）求的矩估計；
（ⅱ）求的最大似然估計
2023年考研數學（三）真題解析
二、 填空題：1－6小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.
（1） 【分析】將其對數恒等化求解.
【詳解】，
而數列有界，，所以.
故 .（2）設函式在的某鄰域內可導,且，，則
【分析】利用復合函式求導即可.
【詳解】由題設知，，兩邊對求導得
兩邊再對求導得 ，又，
故 .
（3）設函式可微,且,則在點(1,2)處的全微分
【分析】利用二元函式的全微分公式或微分形式不變性計算.
【詳解】方法一：因為，
所以 .
方法二：對微分得
，故 .
（4）設矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則 2 .
【分析】 將矩陣方程改寫為的形式，再用方陣相乘的行列式性質進行計算即可.
【詳解】 由題設，有
於是有 ，而，所以.
（5）設隨機變數相互獨立，且均服從區間上的均勻分布，則
.【分析】 利用的獨立性及分布計算.
【詳解】 由題設知，具有相同的概率密度則 .
【評注】 本題屬幾何概型，也可如下計算，如下圖：
則 .（6）設總體的概率密度為為總體的簡單隨機樣本，其樣本方差為，則
【分析】利用樣本方差的性質即可.
【詳解】因為 ，，
所以 ，又因是的無偏估計量，
所以 .
二、選擇題：7－14小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題後的括號內.
（7）設函式具有二階導數，且，為自變數在點處的增量，分別為在點處對應的增量與微分，若，則
(ab) .
(cd【分析】 題設條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解.
【詳解】 由知，函式單調增加，曲線凹向，作函式的圖形如右圖所示，顯然當時，
，故應選(ａ).
（8）設函式在處連續，且，則
(a) 存在b) 存在
(c) 存在 (d)存在c ]
【分析】從入手計算，利用導數的左右導數定義判定的存在性.
【詳解】由知，.又因為在處連續，則
令，則.
所以存在，故本題選（c）.
（9）若級數收斂，則級數
(a) 收斂b）收斂.
(c) 收斂d) 收斂
【分析】 可以通過舉反例及級數的性質來判定.
【詳解】 由收斂知收斂，所以級數收斂，故應選(ｄ).
或利用排除法：
取，則可排除選項（ａ），（ｂ）；
取，則可排除選項（ｃ）.故（ｄ）項正確.
（10）設非齊次線性微分方程有兩個不同的解為任意常數，則該方程的通解是
【分析】 利用一階線性非齊次微分方程解的結構即可.
【詳解】由於是對應齊次線性微分方程的非零解，所以它的通解是 ，故原方程的通解為
，故應選(ｂ).
【評注】本題屬基本題型，考查一階線性非齊次微分方程解的結構：
.其中是所給一階線性微分方程的特解，是對應齊次微分方程的通解.
（11）設均為可微函式，且，已知是在約束條件下的乙個極值點，下列選項正確的是
(a) 若，則.
(b) 若，則.
(c) 若，則.
(d) 若，則
【分析】 利用拉格朗日函式在（是對應的引數的值）取到極值的必要條件即可.
【詳解】 作拉格朗日函式，並記對應的引數的值為，則
， 即 .
消去，得
,整理得 .（因為），
若，則.故選（ｄ）.
（12）設均為維列向量，為矩陣，下列選項正確的是
(c) 若線性相關，則線性相關.
(d) 若線性相關，則線性無關.
(c) 若線性無關，則線性相關.
(d) 若線性無關，則線性無關a ]
【分析】 本題考查向量組的線性相關性問題，利用定義或性質進行判定.
【詳解】 記，則.
所以，若向量組線性相關，則，從而，向量組也線性相關，故應選(ａ).
（13）設為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則
【分析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關係以及初等矩陣的性質可得.
【詳解】由題設可得
，而 ，則有.故應選（ｂ）.
（14）設隨機變數服從正態分佈，服從正態分佈，且
則必有(bb)
(cda ]
【分析】 利用標準正態分佈密度曲線的幾何意義可得.
【詳解】 由題設可得
， 則 ，即.
其中是標準正態分佈的分布函式.
又是單調不減函式，則，即.
故選(a).
三 、解答題：15－23小題，共94分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
（15）（本題滿分7分）
設,求(ⅰ) ；
(ⅱ) .
【分析】第(ⅰ)問求極限時注意將作為常量求解，此問中含型未定式極限；第(ⅱ)問需利用第(ⅰ)問的結果，含未定式極限.
【詳解】(ⅰ)
. (ⅱ) （通分）
（16）（本題滿分7分）
計算二重積分，其中是由直線所圍成的平面區域.
【分析】畫出積分域，將二重積分化為累次積分即可.
考研數三完整版 歷年真題 答案詳解 之 2023年真題
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