2023年全國碩士研究生入學統一考試數學（三）試題解析
一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有乙個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.
(1)設是數列,下列命題中不正確的是 ( )
(a) 若,則
(b) 若, 則
(c)若,則
(d) 若,則
【答案】(d)
【解析】答案為d, 本題考查數列極限與子列極限的關係.
數列對任意的子列均有,所以a、b、c正確； d錯(d選項缺少的斂散性),故選d
(2) 設函式在內連續,其2階導函式的圖形如右圖所示,則曲線的拐點個數為 ( )
(abcd)
【答案】(c)
【解析】根據拐點的必要條件，拐點可能是不存在的點或的點處產生.所以有三個點可能是拐點，根據拐點的定義，即凹凸性改變的點；二階導函式符號發生改變的點即為拐點.所以從圖可知，拐點個數為2，故選c.
(3) 設 ,函式在上連續,則 ( )
(a)(b)(c)(d)
【答案】(b)
【解析】根據圖可得，在極座標系下該二重積分要分成兩個積分區域
所以，故選b.
(4) 下列級數中發散的是( )
(ab)
(c)(d)
【答案】(c)
【解析】a為正項級數，因為，所以根據正項級數的比值判別法收斂；b為正項級數，因為，根據級數收斂準則，知收斂；c，，根據萊布尼茨判別法知收斂， 發散，所以根據級數收斂定義知，發散；d為正項級數，因為，所以根據正項級數的比值判別法收斂，所以選c.
(5)設矩陣,.若集合，則線性方程組有無窮多解的充分必要條件為 ( )
(ab)
(c)(d)
【答案】(d)
【解析】，
由，故或，同時或.故選（d）
(6)設二次型在正交變換下的標準形為，其中，若則在正交變換下的標準形為( )
(ab)
(c)(d)
【答案】(a)
【解析】由，故.
且.又因為
故有所以.選（a）
(7) 若為任意兩個隨機事件,則
(ab)
(c)(d)
【答案】(c)
【解析】由於，按概率的基本性質，我們有且，從而，選(c) .
(8) 設總體為來自該總體的簡單隨機樣本,為樣本均值,則 ( )
(ab)
(cd)
【答案】(b)
【解析】根據樣本方差的性質，而，從而，選(b) .
二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.
(9)【答案】
【解析】原極限
(10)設函式連續，若則
【答案】
【解析】因為連續，所以可導，所以；
因為，所以
又因為，所以
故(11)若函式由方程確定，則
【答案】
【解析】當，時帶入，得.
對求微分，得
把，，代入上式，得
所以(12)設函式是微分方程的解，且在處取得極值3，則
【答案】
【解析】的特徵方程為，特徵根為，，所以該齊次微分方程的通解為，因為可導，所以為駐點，即
，，所以，，故
(13)設3階矩陣的特徵值為，其中e為3階單位矩陣，則行列式
【答案】
【解析】的所有特徵值為的所有特徵值為
所以.(14)設二維隨機變數服從正態分佈，則
【答案】
【解析】由題設知，，而且相互獨立，從而
.三、解答題：15～23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
(15)(本題滿分10 分)
設函式.若與在時是等價無窮小，求的值.
【答案】
【解析】法一：
因為，，
則有，，
可得：，所以，．
法二：由已知可得得
由分母，得分子，求得c；
於是由分母，得分子
，求得；
進一步，b值代入原式
，求得 (16)(本題滿分10 分)
計算二重積分，其中
【答案】
【解析】
(17)(本題滿分10分)
為了實現利潤的最大化，廠商需要對某商品確定其定價模型，設為該商品的需求量，為**，mc為邊際成本，為需求彈性.
(i) 證明定價模型為；
(ii) 若該商品的成本函式為，需求函式為，試由（i）中的定價模型確定此商品的**.
【答案】(i)略(ii) .
【解析】(i)由於利潤函式,兩邊對求導，得
.當且僅當時，利潤最大，又由於,所以,
故當時，利潤最大.
(ii)由於,則代入(i)中的定價模型，得,從而解得.
(18)(本題滿分10 分)
設函式在定義域上的導數大於零，若對任意的，曲線在點處的切線與直線及軸所圍成區域的面積恒為4，且，求表示式.
【答案】
【解析】曲線的切線方程為，切線與軸的交點為
故面積為：.
故滿足的方程為,此為可分離變數的微分方程,
解得，又由於，帶入可得，從而
(19)(本題滿分 10分)
（i）設函式可導，利用導數定義證明
（ii）設函式可導，，寫出的求導公式.
【答案】
【解析】（i）
（ii）由題意得
(20) (本題滿分 11分)
設矩陣，且.
(i) 求的值；
(ii)若矩陣滿足，其中為3階單位矩陣，求.
【答案】
【解析】(i)
(ii)由題意知
，(21) (本題滿分11 分)
設矩陣相似於矩陣.
(i) 求的值；
（ii）求可逆矩陣，使為對角矩陣.
【答案】
【解析】(1)
的特徵值
時的基礎解系為
時的基礎解系為
a的特徵值
令，(22) (本題滿分11 分)
設隨機變數的概率密度為,對進行獨立重複的觀測,直到第2個大於3的觀測值出現時停止，記為觀測次數
(i)求的概率分布；
(ii)求.
【答案】(i)， ；
(ii).
【解析】(i) 記為觀測值大於3的概率，則，
從而，為的概率分布；
(ii) 法一:分解法:
將隨機變數分解成兩個過程,其中表示從到次試驗觀測值大於首次發生，表示從次到第試驗觀測值大於首次發生.
則，(注：ge表示幾何分布)
所以.法二:直接計算
記，則，，，
所以，從而.
(23) (本題滿分11 分)
設總體的概率密度為其中為未知引數，為來自該總體的簡單隨機樣本.
(i)求的矩估計量；
(ii)求的最大似然估計量.
【答案】(i) ；
(ii).
【解析】(i)，
令，即，解得為的矩估計量 ；
(ii)似然函式，
當時，，則.
從而，關於單調增加，
所以為的最大似然估計量.
2023年考研數學三真題及答案
一 選擇題 18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有乙個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.1 曲線漸近線的條數為 a 0 b 1c 2d 3 2 設函式，其中為正整數，則 a b c d 3 設函式連續，則二次積分 a b c d 4 已知級數絕對收斂...
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