一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）
（2）已知曲線與x軸相切，則可以通過a表示為________.
（3）設a>0，而d表示全平面，則=_______.
（4）設n維向量；e為n階單位矩陣，矩陣
其中a的逆矩陣為b，則a=______.
（5）設隨機變數x 和y的相關係數為0.9, 若，則y與z的相關係數為________.
（6）設總體x服從引數為2的指數分布，為來自總體x的簡單隨機樣本，則當時，依概率收斂於______.
二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題後的括號內）
（1）設f(x)為不恆等於零的奇函式，且存在，則函式
(a) 在x=0處左極限不存在b) 有跳躍間斷點x=0.
(c) 在x=0處右極限不存在d) 有可去間斷點x=0
（2）設可微函式f(x,y)在點取得極小值，則下列結論正確的是
(a) 在處的導數等於零. （b）在處的導數大於零.
(c) 在處的導數小於零. (d) 在處的導數不存在.
（3）設，，，則下列命題正確的是
(a) 若條件收斂，則與都收斂.
(b) 若絕對收斂，則與都收斂.
(c) 若條件收斂，則與斂散性都不定.
(d) 若絕對收斂，則與斂散性都不定
（4）設三階矩陣，若a的伴隨矩陣的秩為1，則必有
(a) a=b或a+2b=0b) a=b或a+2b0.
(c) ab且a+2b=0d) ab且a+2b0
（5）設均為n維向量，下列結論不正確的是
(a) 若對於任意一組不全為零的數，都有，則線性無關.
(b) 若線性相關，則對於任意一組不全為零的數，都有
(c) 線性無關的充分必要條件是此向量組的秩為s.
(d) 線性無關的必要條件是其中任意兩個向量線性無關
（6）將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進事件：=，=，=，=，則事件
(a) 相互獨立b) 相互獨立.
(c) 兩兩獨立d) 兩兩獨立
三、（本題滿分8分）
設試補充定義f(1)使得f(x)在上連續.
四 、（本題滿分8分）
設f(u,v)具有二階連續偏導數，且滿足，又,求
五、（本題滿分8分）
計算二重積分
其中積分區域d=
六、（本題滿分9分）
求冪級數的和函式f(x)及其極值.
七、（本題滿分9分）
設f(x)=f(x)g(x), 其中函式f(x),g(x)在內滿足以下條件：
，，且f(0)=0,
(1) 求f(x)所滿足的一階微分方程；
(2) 求出f(x)的表示式.
八、（本題滿分8分）
設函式f(x)在[0，3]上連續，在（0，3）內可導，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.試證必存在，使
九、（本題滿分13分）
已知齊次線性方程組
其中試討論和b滿足何種關係時，
(1) 方程組僅有零解；
(2) 方程組有非零解. 在有非零解時，求此方程組的乙個基礎解系.
十、（本題滿分13分）
設二次型
，中二次型的矩陣a的特徵值之和為1，特徵值之積為-12.
(1) 求a,b的值；
(2) 利用正交變換將二次型f化為標準形，並寫出所用的正交變換和對應的正交矩陣.
十一、（本題滿分13分）
設隨機變數x的概率密度為
f(x)是x的分布函式. 求隨機變數y=f(x)的分布函式.
十二、（本題滿分13分）
設隨機變數x與y獨立，其中x的概率分布為
，而y的概率密度為f(y)，求隨機變數u=x+y的概率密度g(u).
一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）
（1）設其導函式在x=0處連續，則的取值範圍是.
【分析】 當0可直接按公式求導，當x=0時要求用定義求導.
【詳解】 當時，有
顯然當時，有，即其導函式在x=0處連續.
（2）已知曲線與x軸相切，則可以通過a表示為 .
【分析】 曲線在切點的斜率為0，即，由此可確定切點的座標應滿足的條件，再根據在切點處縱座標為零，即可找到與a的關係.
【詳解】 由題設，在切點處有
有 又在此點y座標為0，於是有
,故【評注】 有關切線問題應注意斜率所滿足的條件，同時切點還應滿足曲線方程.
（3）設a>0，而d表示全平面，則= .
【分析】 本題積分區域為全平面，但只有當時，被積函式才不為零，因此實際上只需在滿足此不等式的區域內積分即可.
【詳解】 =
【評注】 若被積函式只在某區域內不為零，則二重積分的計算只需在積分區域與被積函式不為零的區域的公共部分上積分即可.
（4）設n維向量；e為n階單位矩陣，矩陣
其中a的逆矩陣為b，則a= -1 .
【分析】 這裡為n階矩陣，而為數，直接通過進行計算並注意利用乘法的結合律即可.
【詳解】 由題設，有
於是有 ，即 ，解得由於a<0 ,故a=-1.
（5）設隨機變數x 和y的相關係數為0.9, 若，則y與z的相關係數為 0.9 .
【分析】 利用相關係數的計算公式即可.
【詳解】 因為
e(xy) – e(x)e(y)=cov(x,y),
且於是有 cov(y,z)==
【評注】 注意以下運算公式：，
（6）設總體x服從引數為2的指數分布，為來自總體x的簡單隨機樣本，則當時，依概率收斂於 .
【分析】 本題考查大數定律：一組相互獨立且具有有限期望與方差的隨機變數，當方差一致有界時，其算術平均值依概率收斂於其數學期望的算術平均值：
【詳解】 這裡滿足大數定律的條件，且=，因此根據大數定律有
依概率收斂於
二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題後的括號內）
（1）設f(x)為不恆等於零的奇函式，且存在，則函式
(a) 在x=0處左極限不存在b) 有跳躍間斷點x=0.
(c) 在x=0處右極限不存在d) 有可去間斷點x=0d ]
【分析】 由題設，可推出f(0)=0 , 再利用在點x=0處的導數定義進行討論即可.
【詳解】 顯然x=0為g(x)的間斷點，且由f(x)為不恆等於零的奇函式知，f(0)=0.
於是有存在，故x=0為可去間斷點.
【評注1】 本題也可用反例排除，例如f(x)=x, 則此時g(x)=可排除(a),(b),(c) 三項，故應選(d).
【評注2】 若f(x)在處連續，則.
（2）設可微函式f(x,y)在點取得極小值，則下列結論正確的是
(a) 在處的導數等於零. （b）在處的導數大於零.
(c) 在處的導數小於零. (d) 在處的導數不存在.
a ]
【分析】 可微必有偏導數存在，再根據取極值的必要條件即可得結論.
【詳解】 可微函式f(x,y)在點取得極小值，根據取極值的必要條件知，即在處的導數等於零, 故應選(a).
【評注1】 本題考查了偏導數的定義，在處的導數即；而在處的導數即
【評注2】 本題也可用排除法分析，取，在(0,0)處可微且取得極小值，並且有，可排除(b),(c),(d), 故正確選項為(a).
（3）設，，，則下列命題正確的是
(a) 若條件收斂，則與都收斂.
(b) 若絕對收斂，則與都收斂.
(c) 若條件收斂，則與斂散性都不定.
(d) 若絕對收斂，則與斂散性都不定b ]
【分析】 根據絕對收斂與條件收斂的關係以及收斂級數的運算性質即可找出答案.
【詳解】 若絕對收斂，即收斂，當然也有級數收斂，再根據，及收斂級數的運算性質知，與都收斂，故應選(b).
（4）設三階矩陣，若a的伴隨矩陣的秩為1，則必有
(a) a=b或a+2b=0b) a=b或a+2b0.
(c) ab且a+2b=0d) ab且a+2b0c ]
【分析】 a的伴隨矩陣的秩為1, 說明a的秩為2，由此可確定a,b應滿足的條件.
【詳解】 根據a與其伴隨矩陣a*秩之間的關係知，秩(a)=2，故有
即有或a=b.
但當a=b時，顯然秩(a), 故必有 ab且a+2b=0. 應選(c).
【評注】 n（n階矩陣a與其伴隨矩陣a*的秩之間有下列關係：
（5）設均為n維向量，下列結論不正確的是
(a) 若對於任意一組不全為零的數，都有，則線性無關.
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