2023年全國碩士研究生入學統一考試數學(二)試題
一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分)
12、曲線在點（0，1）處的切線方程為
34、微分方程滿足=0的特解為
5、方程組有無窮多解，則=（ ）．
二、單項選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分．)
1、則=
（ a ） 0；（b）1；（c）； （d）．
2、時，是比高階的無窮小，而是比
高階的無窮小，則正整數等於
（ a ）1；（b）2；（c）3；（d）4．
3、曲線的拐點的個數為
（ a ）０；（b）１；（c）２；（d）３．
4、函式在區間（1-δ，1+δ）內二階可導， 嚴格單調減小，且
==1，則
（a）在（1-δ，1）和（1，1+δ）內均有；
（b）在（1-δ，1）和（1，1+δ）內均有；
（c）在（1-δ，1）內有，在（1，1+δ）內有；
（d）在（1-δ，1）內有，在（1，1+δ）內有．
5、（同數學一的二1）
三、（本題滿分6分）求．
四、（本題滿分7分）求函式=的表示式，並指出函式的間斷點及其型別．
五、（本題滿分7分）設是拋物線上任意一點m（）（）處的曲率半徑，是該拋物線上介於點a（1，1）與m之間的弧長，計算的值（曲率k＝）．
六、（本題滿分7分）在[0，+）可導， =0，且其反函式為．
若，求．
七、（本題滿分7分）設函式，滿足=， =2－
且=0， =2，求
八、（本題滿分9分）設l為一平面曲線，其上任意點p（）（）到原點的距離，恆等於該點處的切線在軸上的截距，且l過點（0.5，0）．
1、 求l的方程
2、 求l的位於第一象限部分的一條切線，使該切線與l以及兩座標軸所圍成的圖形的面積最小．
九、（本題滿分7分）乙個半球型的雪堆，其體積的融化的速率與半球面積s成正比
比例係數k>0．假設在融化過程中雪堆始終保持半球形狀，已知半徑為 r0 的雪堆
在開始融化的3小時內，融化了其體積的7/8，問雪堆全部融化需要多少時間？
十、（本題滿分8分）在[-a，a]上具有二階連續導數，且=0
1、 寫出的帶拉格朗日餘項的一階麥克勞林公式；
2、 證明在[-a，a]上至少存在一點，使
十一、（本題滿分6分）已知且滿足
axa+bxb=axb+bxa+e，求x．
十二、（本題滿分6分）設為線性方程組ax=o的乙個基礎解系，
，其中為實常數
試問滿足什麼條件時也為ax=o的乙個基礎解系．
2023年全國碩士研究生入學統一考試
數學(二)試題
一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分)
1．設函式在處連續，則
2．位於曲線（）下方，軸上方的無界圖形的面積為（ ）．
3．滿足初始條件的特解是
45．矩陣的非零特徵值是
二、單項選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分．)
１．函式可導，當自變數在處取得增量時，相應的函式增量的線性主部為０．１，則＝
２．函式連續，則下列函式中，必為偶函式的是
(ab)；
(c)； (d)．
３．設是二階常係數微分方程滿足初始條件的
特解，則極限
(a)不存在； （ｂ）等於１； (c)等於２； (d) 等於３．
４．設函式在上有界且可導，則
(a)當時，必有；
（ｂ）當存在時，必有；
(c) 當時，必有；
(d) 當存在時，必有．
5．設向量組線性無關，向量可由線性表示，而向量不能由線性表示，則對於任意常數必有
（ａ）線性無關；(b)線性相關；
（ｃ）線性無關；
(d)線性相關．
三、（本題滿分6分）已知曲線的極座標方程為，求該曲線對應於處的切線與法線的直角座標方程．
四、（本題滿分７分）設函式，
求函式的表示式．
五、（本題滿分７分）已知函式在上可導，，，且滿足
，求．六、（本題滿分７分）求微分方程的乙個解，使得由曲線與直線以及軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉一周的旋轉體的體積最小．
七、（本題滿分7分）某閘門的形狀與大小如圖所示，其中直線
為對稱軸，閘門的上部為矩形ａｂｃｄ，下部由二次曲線與線段
ａｂ所圍成．當水面與閘門的上斷相平時，欲使閘門矩形部分與
承受的水壓與閘門下部承受的水壓之比為５：４，閘門矩形部分
的高應為多少？
八、（本題滿分８分）
設證明：數列｛｝的極限存在，並求此極限．
九、（本題滿分８分）設，證明不等式．
十、（本題滿分8分）設函式在＝０的某鄰域具有二階連續導數，且
．證明：存在惟一的一組實數，使得當時，
．十一、（本題滿分６分）已知ａ，ｂ為三階方陣，且滿足．
⑴證明：矩陣可逆；
⑵若，求矩陣ａ．
十二、（本題滿分６分）已知四階方陣，均為四維列向量，其中線性無關，．若，求線性方程組的通解．
2023年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題
一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）
（1） 若時， 與是等價無窮小，則a
（2） 設函式y=f(x)由方程所確定，則曲線y=f(x)在點(1,1)處的切線方程是
（3）的麥克勞林公式中項的係數是
（4） 設曲線的極座標方程為，則該曲線上相應於從0變到的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為
（5） 設為3維列向量，是的轉置. 若，則
（6） 設三階方陣a,b滿足，其中e為三階單位矩陣，若，則________.
二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題後的括號內）
（1）設均為非負數列，且, , ,則必有
(a)對任意n成立b)對任意n成立.
(c) 極限不存在d) 極限不存在
（2）設, 則極限等於
(ab) .
(cd（3）已知是微分方程的解，則的表示式為
（ab)
(cd（4）設函式f(x)在內連續，其導函式的圖形如圖所示，則f(x)有
(a) 乙個極小值點和兩個極大值點.
(b) 兩個極小值點和乙個極大值點.
(c) 兩個極小值點和兩個極大值點.
(d) 三個極小值點和乙個極大值點yox
（5）設, , 則
(ab)
(cd（6）設向量組：可由向量組：線性表示，則
(a) 當時，向量組必線性相關. (b) 當時，向量組必線性相關.
(c) 當時，向量組必線性相關. (d) 當時，向量組必線性相關.
三 、（本題滿分10分）
設函式問a為何值時，f(x)在x=0處連續；a為何值時，x=0是f(x)的可去間斷點？
四 、（本題滿分9分）
設函式y=y(x)由引數方程所確定，求
五 、（本題滿分9分）
計算不定積分
六 、（本題滿分12分）
設函式y=y(x)在內具有二階導數，且是y=y(x)的反函式.
(1) 試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；
(2) 求變換後的微分方程滿足初始條件的解.
七 、（本題滿分12分）
討論曲線與的交點個數.
八 、（本題滿分12分）
設位於第一象限的曲線y=f(x)過點，其上任一點p(x,y)處的法線與y軸的交點為q，且線段pq被x軸平分.
(1) 求曲線 y=f(x)的方程；
(2) 已知曲線y=sinx在上的弧長為，試用表示曲線y=f(x)的弧長s.
九 、（本題滿分10分）
有一平底容器，其內側壁是由曲線繞y軸旋轉而成的旋轉曲面（如圖），容器的底面圓的半徑為2 m.根據設計要求，當以的速率向容器內注入液體時，液面的面積將以的速率均勻擴大（假設注入液體前，容器內無液體）.
(1) 根據t時刻液面的面積，寫出t與之間的關係式；
(2) 求曲線的方程.
(注：m表示長度單位公尺，min表示時間單位分.)
十 、（本題滿分10分）
設函式f(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，且若極限存在，證明：
(1) 在(a,b)內f(x)>0;
(2)在(a,b)內存在點，使；
(3) 在(a,b) 內存在與(2)中相異的點，使
十一、（本題滿分10分）
若矩陣相似於對角陣，試確定常數a的值；並求可逆矩陣p使
十二 、（本題滿分8分）
已知平面上三條不同直線的方程分別為
，，.試證這三條直線交於一點的充分必要條件為
2023年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題
一. 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上. ）
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