河南省開封市
2010—2011學年度高三年級統考
數學試題（理科）
本試卷分第i卷（選擇題）和第ⅱ卷（非選擇題）兩部分，其中第ⅱ卷第22；23題為選考題，其他題為必考題。考生作答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效。
注意事項：
1．答題前，考生務必先將自己的姓名，准考證號填寫在答題卡上。
2．選擇題答案使用2b鉛筆填塗，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案的標號，非選擇題答案使用0.5公釐的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字型工整，筆跡清楚。
3．請按照題號在各題的答題區域（黑色線框）內作答，超出答題區域書寫的答案無效。
4．保持捲麵清潔，不摺疊，不破損。
5．做選考題時，考生按照題目要求作答，並用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號塗黑。
參考公式：
樣本資料的標準差；
為樣本平均數；
柱體體積公式：、h為高；
錐體體積公式：為高；
球的表面積、體積公式：其中r為球的半徑.
第i卷 （選擇題共50分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．設集合，則下列關係中正確的是
a． b． c． d．
2．已知是虛數單位，則等於
a． b． c． d．
3．已知命題；和命題則下列命題為真的是
a． b． c． d．
4．設函式
a．在區間內均有零點
b．在區間內均無零點
c．在區間內有零點，在區間內無零點
d．在區間內無零點，在區間內有零點
5．在中，角a，b，c的對邊分別為，則角b的值為
a． b． c． d．
6．如圖，設d是圖中邊長為4的正方形區域，e是d內函式
圖象下方的點構成的區域，向d中隨機投一點，則該點落入e
中的概率為
a． b．
c． d．
7．如圖是乙個演算法的程式框圖，若該程式輸出的結果為
則判斷框中應填入的條件是
a．t>4 b．t<4
c．t>3 d．t<3
8．設函式為奇函式，
a．0 b．1
c． d．5
9．一艘海輪從a處出發，以每小時40海浬的速度沿東偏南
50°方向直線航行，30分鐘後到達b處，在c處有一座
燈塔，海輪在a處觀察燈塔，其方向是東偏南20°，在
b處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那麼b、c兩點
間的距離是
a．海浬 b．海浬 c．海浬 d．海浬
10．如圖，正方體abcd—a1b1c1d1的稜長為1，線段b1d上有兩個動點，且則下列結論中錯誤的是
a．ac⊥be
b．ef//平面abcd
c．三稜錐a—bef的體積為定值
d．△aef的面積與△bef的面積相等
11．設，則不等式的解集為
a． b．
c． d．（1，2）
12．在中，，則以a，b為焦點且示點c的雙曲線的離心率為
a． b． c． d．
第ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題～第21題為必考題。每個試題考生都必須做答。第22題～第23題為選考題，考試根據要求做答。
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。將答案填寫在答題卷指定位置）
13．若乙個底面是正三角形的三稜柱的正檢視如圖所示，則其側面積等於
14．隨機抽查某中學高三年級100名學生的視力情況，得其頻率分布直方圖如右圖所示。已知前4組的頻數成等比數列，後6組的頻數成等差數列，則視力在4．6到5．0之間的學生人數為人。
15．與直線和曲線都相切的半徑最小的圓的標準方程是
16．曲線和直線在y軸右側的交點按橫座標從小到大依次記為則|p2p4|等於
三、解答題：解答應寫出文字說明。證明過程和演算步驟
17．（本小題滿分12分）設數列的前n項和為，且
（ⅰ）設，求證：數列是等比數列；
（ⅱ）求數列的通項公式．
18．（本小題滿分12分）在直三稜柱abc—a1b1c1中，ca=cb=cc1=2，，e、f分別是ba、bc的中點，g是aa1上一點，且
（ⅰ）確定點g的位置；
（ⅱ）求直線ac1與平面efg所成角θ的大小．
19．（本題滿分12分）某品牌的汽車4s店，對最近100位採用分期付款的購車者進行統計，統計結果如右表所示：
已知分3期付款的頻率為0．2，4s店經銷一輛該品牌的汽車，顧客分1期付款，其利潤為1萬元；分2期或3期付款其利潤為1.5萬元；分4期或5期付款，其利潤為2萬元．用表示經銷一輛汽車的利潤．
（ⅰ）求上表中a，b的值；
（ⅱ）若以頻率作為概率，求事件a：「購買該品牌汽車的3位顧客中，至多有l位採用3期付款」的概率p（a）；
（ⅲ）求的分布列及數學期望．
20．（本小題滿分12分）如圖所示，已知a、b、c是橢圓上三點，其中點a的座標為，bc過橢圓的中心o，且
（ⅰ）求點c的座標及橢圓e的方程；
（ⅱ）若橢圓e上存在兩點p，q，使得的平分線總垂直於z軸，試判斷向量是否共線，並給出證明．
21．（本小題滿分12分）已知函式
（ⅰ）當時，求函式的影象在點處的切線方程；
（ⅱ）若在r上單調，求的取值範圍；
（ⅲ）當時，求函式的極小值．
請考生在第22、23，兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。做答時用2b鉛筆在答題卡上把所選題目的題號塗黑。
22．（本小題滿分10分）選修4一l：幾何證明選講
如圖，已知ap是圓o的切線，p為切點，ac是圓o的割線，與圓o交於b，c兩點，圓心o在的內部，點m是bc的中點．
（ⅰ）證明a，p，0，m四點共圓；
（ⅱ）求的大小。
23．（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講
設函式（ⅰ）畫出函式的影象；
（ⅱ）若不等式恆成立，求實數的範圍。
參***
一、選擇題
1—5 dbcdd 6—12 cbcad ca
二、填空題
13．6 14．78 15． 16．
三、解答題
17．解：
2分 …………4分
是以3為首項，2為公比的等比數列 …………6分
8分是以為公差的等差數列 …………10分
12分18．（ⅰ）以c為原點，分別以cb、ca、cc1
為x軸、y軸、z軸建立空間直角座標系，
則f（1，0，0），e（1，1，0），a（0，2，0），
c1（0，0，2），…………2分
設g（0，2，h），則
4分即是aa1的中點6分
（ⅱ）設是平面efg的法向量，
則。所以平面efg的乙個法向量…………8分
10分即ac1與平面efg所成角12分
19．解
（ⅰ）由
∵40+20+a+10+b=100 ∴b=10 …………2分
（ⅱ）記分期付款的期數為，依題意得
4分則「購買該品牌汽車的3位顧客中至多有1位採用3期付款」的概率：
…………7分
（ⅲ）的可能取值為：1，1.5，2（單位萬元）
的分布列為
的數學期望（萬元）…………12分
20．解：
（ⅰ）∵|bc|=2|oc|，|bc|=2|ac|
∴|oc|=|ac|
∴△oca為等腰三角形由代入
橢圓方程得：b=2
∴橢圓方程為6分
（ⅱ）設則cq方程為6分
由得…………8分由解得
所以 …………10分
用-k代k得：
共線 …………12分
21．解
①當a=0時，
…………2分
∴函式f（x）的影象在點a（1，f（1））處的切線方程為y-3e=5e（x-1）
即 …………3分
（ⅱ），
考慮到恆成立且係數為正
∴f（x）在r上單調等價於恒成立 …………6分
，即a的取值範圍是[-2，2]
（若得a的取值範圍是（-2，2），可扣1分）…………8分
（ⅲ）當
的變化情況如下表
所以，函式f（x）的極小值為 …………12分
22．解：（ⅰ）證明：鏈結op，om
因為ap與圓o相切，所以op⊥ap。
因為m是圓o的弦bc的中點，所以om⊥bc。
於是∠opa+∠oma=180°
由圓心o在∠pac的內部，可知四邊形apom的對角互補，
所以a，p，o，m四點共圓5分
（ⅱ）解：由（ⅰ）得a，p，o，m四點共圓，
所以∠oam=∠opm。
由（ⅰ）得op⊥ap。
由圓心o在∠pac的內部，可知∠opm+∠apm=90°
所以∠oma+∠apm=90° …………10分
232分
（ⅱ）由
得則有 …………8分
解不等式
得 …………10分
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