1. （北京卷）設，則等於（ d ）
a. b. c. d.
2. 等差數列中，a1=1,a3+a5=14，其前n項和sn=100,則n=（ b ）
a．9 b．10 c．11 d．12
3. （福建）數列的前項和為，若，則等於（ b ）
a．1 b． c． d．
4. （全國ii）設sn是等差數列｛an｝的前n項和，若＝，則＝
abcd.
解析:由等差數列的求和公式可得且
所以,故選a
5. （天津卷）已知數列、都是公差為1的等差數列，其首項分別為、，且，．設（），則數列的前10項和等於（ ）
a．55 b．70 c．85 d．100
解：數列、都是公差為1的等差數列，其首項分別為、，且，．設（），則數列的前10項和等於=，，∴
=，選c.
6. （江蘇卷）對正整數n，設曲線在x＝2處的切線與y軸交點的縱座標為，則數列的前n項和的公式是
解：，曲線y=xn(1-x)在x=2處的切線的斜率為k=n2n-1-(n+1)2n
切點為（2，-2n）,所以切線方程為y+2n=k(x-2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn=.數列的前n項和為2+22+23+…+2n=2n+1-2
數列求和常用方法
一、直接求和法（或公式法）
將數列轉化為等差或等比數列，直接運用等差或等比數列的前n項和公式求得.
①等差數列求和公式：
②等比數列求和公式：（切記：公比含字母時一定要討論）
例1:設是公比大於1的等比數列，為數列的前項和．已知，且構成等差數列．
（1）求數列的等差數列．
（2）令求數列的前項和．
解：（1）由已知得解得．
設數列的公比為，由，可得．
又，可知，即，
解得．由題意得．
．故數列的通項為．
（2）由於由（1）得
， 又是等差數列．
故．針對訓練1：
設sn＝1+2+3+…+n，n∈n*,求的最大值.
解：由等差數列求和公式得， （利用常用公式）
∴ 當，即n＝8時，
二、錯位相減法
設數列的等比數列，數列是等差數列，則數列的前項和求解，均可用錯位相減法。
若，其中是等差數列，是公比為等比數列，令
則兩式相減並整理即得
例2在數列中，，其中．
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）求數列的前項和；
（ⅰ）解：由，，
可得，所以為等差數列，其公差為1，首項為0，故，所以數列的通項公式為．
（ⅱ）解：設， ①
②當時，①式減去②式，得，．
這時數列的前項和．
當時，．這時數列的前項和．
例3：設是等差數列，是各項都為正數的等比數列，且，，
（ⅰ）求，的通項公式；
（ⅱ）求數列的前n項和．
解：（ⅰ）設的公差為，的公比為，則依題意有且
解得，． 所以， ．
（ⅱ）．，①
，②②－①得
小結：錯位相減法的求解步驟：①在等式兩邊同時乘以等比數列的公比；②將兩個等式相減；③利用等比數列的前n項和的公式求和.
針對訓練2：
設數列滿足，．
（ⅰ）求數列的通項； （ⅱ）設，求數列的前項和．
解 (i)
驗證時也滿足上式，
(ii)， ①
②2. 求和
解：由題可知，{}的通項是等差數列的通項與等比數列{}的通項之積
設設制錯位）
①－②得（錯位相減）
再利用等比數列的求和公式得：
3.求數列前n項的和.
解：由題可知，{}的通項是等差數列的通項與等比數列{}的通項之積
設設制錯位）
①－②得 （錯位相減）
三、裂項求和法
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如： （1）
（2）（3）（4（56）
（7）（1），特別地當時，
（2），特別地當時
例1： 求數列的前n項和.
解：設裂項）
則裂項求和）
例2：已知二次函式的影象經過座標原點，其導函式為，數列的前n項和為，點均在函式的影象上。
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m；
解：（ⅰ）設這二次函式f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由於f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因為點均在函式的影象上，所以＝3n2－2n.
當n≥2時，an＝sn－sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.
當n＝1時，a1＝s1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）
（ⅱ）由（ⅰ）得知＝＝，
故tn＝＝＝（1－）.
因此，要使（1－）<（）成立的m,必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數m為10.
評析：一般地，若數列為等差數列，且公差不為0，首項也不為0，則求和：首先考慮則=。下列求和： 也可用裂項求和法。
針對訓練3：
1.在數列中，，又，求數列的前n項的和.
解： ∵
裂項） ∴ 數列的前n項和
裂項求和）
四、分組求和法
所謂分組法求和就是：對一類既不是等差數列，也不是等比數列的數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合併。
例1：數列的前n項和，數列滿.
（ⅰ）證明數列為等比數列；（ⅱ）求數列的前n項和tn。
解析：（ⅰ）由，
兩式相減得： ，
同定義知是首項為1，公比為2的等比數列.
（ⅱ）等式左、右兩邊分別相加得：
=例2： 求數列，的前項和．
分析：此數列的通項公式是，而數列是乙個等差數列，數列是乙個等比數列，故採用分組求和法求解．
解：． 針對訓練4：
求和：解： 小結：這是求和的常用方法，按照一定規律將數列分成等差（比）數列或常見的數列，使問題得到順利求解.
五、併項求和法：
針對一些特殊的數列，將其某些項合併在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的前n項和時，可將這些項放在一起先求和.
例1、已知數列的前n項和，求.
解： 小結：併項求和法的關鍵是尋找哪些項合併在一起就具有某種特殊的性質，一旦找到問題就可以順利的解決.
例2：在各項均為正數的等比數列中，若的值.
解：設由等比數列的性質找特殊性質項）
和對數的運算性質得
（合併求和）
＝＝＝10
例3：求數列的前n項和：，…
解：設將其每一項拆開再重新組合得
分組）當a＝1時分組求和）
當時，＝
針對訓練5：
1： 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：設sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
找特殊性質項）
∴sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90合併求和）
0 2：求（）
解：⑴ 當為偶數時，
；⑵ 當為奇數時，
綜上所述，．
6、倒序相加法：
類似於等差數列的前n項和的公式的推導方法。如果乙個數列，與首末兩項等距的兩項之和等於首末兩項之和，可採用正序寫和與倒序寫和的兩個和式相加，就得到乙個常數列的和。這一種求和的方法稱為倒序相加法.
例1：已知函式
（1）證明：；
（2）求的值.
解：（1）先利用指數的相關性質對函式化簡，後證明左邊=右邊
（2）利用第（1）小題已經證明的結論可知，
兩式相加得：
所以.小結：解題時，認真分析對某些前後具有對稱性的數列，可以運用倒序相加法求和.
例2：（07豫理22.）設函式的圖象上有兩點p1(x1, y1)、p2(x2, y2)，若,且點p的橫座標為.
（i）求證：p點的縱座標為定值，並求出這個定值；
（ii）若
（iii）略
（i）∵,且點p的橫座標為.
∴p是的中點，且
由（i）知，
，（1）+（2）得：
針對訓練6：
1： 求的和．
分析：由於數列的第項與倒數第項的和為常數1，故採用倒序相加法求和．
解：設則．
兩式相加，得 ．
2：求證：
證明： 設
把①式右邊倒轉過來得
反序） 又由可得
①+②得（反序相加）
小結：對某些具有對稱性的數列，可運用此法.
14常見數列求和方法練習
一 應用公式求和 如等差 等比數列 應用好求和公式 等差數列 二次函式 等比數列 注意q不等於1 練習 1 數列中，求該數列的，且求出n為何值時最大？2 等比數列中，求的值。3 計算9 99 999 9999 的前n項和。二 裂項法 例 求下列數列的前n項和,12 解 12 練習 數列中，求該數列的...
常見特殊數列求和
前n項和公式都是以正整數為自變數的函式，在熟練掌握等差 等比數列求和方法的基礎上，還要會用其他方法求常見特殊數列的和。一 分解法 有些特殊數列可以分解為基本的等差數列或等比數列，再分別求和。例1 求數列，的前n項和。解 這個數列可以分解成乙個等差數列和乙個等比數列之和。1 2 3 n 1 二 錯位相...
常見數列性質及解題方法
1 常見數列及其性質 1.等差數列 1 定義 2 等差中項及延伸 3 sn的兩個公式 4 常用性質 若m n p q,則am an ap aq 為等差數列 k,b為實數 若三個數成等差數列，可設為 a d,a,a d 若為等差數列，s2n 1，t2n 1為所對應的前2n 1項和，則s2n 1 an ...