導數及其應用
2023年
18．（本小題滿分12分）設函式，其中，求的單調區間.
解：由已知得函式的定義域為，且
（1）當時，函式在上單調遞減，
（2）當時，由解得
、隨的變化情況如下表
從上表可知
當時，函式在上單調遞減.
當時，函式在上單調遞增.
綜上所述：
當時，函式在上單調遞減.
當時，函式在上單調遞減，函式在上單調遞增.
2023年
(22)(本小題滿分14分)
設函式f(x)=x2+b ln(x+1),其中b≠0.
(ⅰ)當b>時，判斷函式f(x)在定義域上的單調性；
（ⅱ）求函式f(x)的極值點；
（ⅲ）證明對任意的正整數n,不等式ln()都成立.
22【答案】(i) 函式的定義域為.
，令，則在上遞增，在上遞減，
.當時，，
在上恆成立.
即當時,函式在定義域上單調遞增。
（ii）分以下幾種情形討論：
（1）由（i）知當時函式無極值點.
（2）當時，，
時， 時，
時，函式在上無極值點。
（3）當時，解得兩個不同解，.
當時，，，
此時在上有唯一的極小值點.
當時，在都大於0 ，在上小於0 ，
此時有乙個極大值點和乙個極小值點.
綜上可知，時，在上有唯一的極小值點；
時，有乙個極大值點和乙個極小值點；
時，函式在上無極值點。
（iii） 當時，
令則在上恆正，
在上單調遞增，當時，恒有.
即當時，有，
對任意正整數，取得
2023年
21．（本小題滿分12分）
已知函式，其中，為常數．
（ⅰ）當時，求函式的極值；
（ⅱ）當時，證明：對任意的正整數，當時，有．
21．（ⅰ）解：由已知得函式的定義域為，
當時，，
所以．（1） 當時，由得，，
此時．當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增．
（2）當時，恆成立，所以無極值．
綜上所述，時，
當時，在處取得極小值，極小值為．
當時，無極值．
（ⅱ）證法一：因為，所以．
當為偶數時，
令，則（）．
所以當時，單調遞增，
又，因此恆成立，
所以成立．
當為奇數時，
要證，由於，所以只需證，
令，則（），
所以當時，單調遞增，又，
所以當時，恒有，即命題成立．
綜上所述，結論成立．
證法二：當時，．
當時，對任意的正整數，恒有，
故只需證明．
令，，則，
當時，，故在上單調遞增，
因此當時，，即成立．
故當時，有．
即．2023年
21）（本小題滿分12分）
兩縣城a和b相距20km，現計畫在兩縣城外以ab為直徑的半圓弧上選擇一點c建造垃圾理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關，對城a和城b的總影響度為對城a與對城b的影響度之和。記c點到城a的距離xkm，建在c處的垃圾處理廠對城b的影響度為y，統計調查表明；垃圾處理廠對城a的影響度與所選地點到城b的平方成反比，比例係數為4；城b的影響度與所選地點到城b的距離的平方成反比，比例係數為k，當垃圾處理廠建在弧的中點時，對城a和城b）總影響度為0.065
（ⅰ）將y表示成x的函式；
（ⅱ）討論（ⅰ）中函式的單調性，並判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城a和城b的總影響度最小？若存在，求出該點城a的距離；若不存在，說明理由。
21. 解法一:（1）如圖,由題意知ac⊥bc, ,
其中當時，y=0.065,所以k=9
所以y表示成x的函式為
（2）, ,令得,所以,即,當時, ,即所以函式為單調減函式,當時, ,即所以函式為單調增函式.所以當時, 即當c點到城a的距離為時, 函式有最小值.
解法二: （1）同上.
（2）設,
則, ,所以
當且僅當即時取」=」.
下面證明函式在(0,160)上為減函式, 在(160,400)上為增函式.
設0 ,
因為04×240×240
9 m1m2<9×160×160所以,
所以即函式在(0,160)上為減函式.
同理,函式在(160,400)上為增函式,
設160因為16009×160×160
所以,所以即函式在(160,400)上為增函式.
所以當m=160即時取」=」,函式y有最小值,
所以弧上存在一點，當時使建在此處的垃圾處理廠對城a和城b的總影響度最小.
2023年
22)(本小題滿分14分)
已知函式.
(ⅰ)當時，討論的單調性；
（ⅱ）設當時，若對任意，存在，使
，求實數取值範圍.
【解析】(ⅰ)原函式的定義域為（0，+，因為=，所以
當時，，令得，所以
此時函式在（1，+上是增函式；在（0，1）上是減函式；
當時， ，所以
此時函式在（0，+是減函式；
當時，令=得，解得（捨去），此時函式
在（1，+上是增函式；在（0，1）上是減函式；
當時，令=得，解得，此時函式
在（1，上是增函式；在（0，1）和+上是減函式；
當時，令=得，解得，
此時函式在1）上是增函式；在（0，）和+上是減函式；
當時，由於，令=得，可解得0，此時函式在（0，1）上是增函式；在（1，+上是減函式。
（ⅱ）當時，在（0，1）上是減函式，在（1，2）上是增函式，所以對任意，
有，又已知存在，使，所以，，
即存在，使，
即， 即，
所以，解得，即實數取值範圍是。
【命題意圖】本題將導數、二次函式、不等式知識有機的結合在一起，考查了利用導數研究函式的單調性、利用導數求函式的最值以及二次函式的最值問題，考查了同學們分類討論的數學思想以及解不等式的能力；考查了學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力。
（1）直接利用函式與導數的關係討論函式的單調性；（2）利用導數求出的最小值、利用二次函式知識或分離常數法求出在閉區間[1,2]上的最大值，然後解不等式求引數。
2023年
21.（本小題滿分12分）
某企業擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：公尺），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的體積為立方公尺，且.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關.
已知圓柱形部分每平方公尺建造費用為3千元，半球形部分每平方公尺建造費用為.設該容器的建造費用為千元.
（ⅰ）寫出關於的函式表示式，並求該函式的定義域；
（ⅱ）求該容器的建造費用最小時的.
【解析】（ⅰ）因為容器的體積為立方公尺，
所以,解得,
所以圓柱的側面積為=,
兩端兩個半球的表面積之和為,
所以+,定義域為(0,).
（ⅱ）因為+=,所以令得:; 令得:,所以公尺時, 該容器的建造費用最小.
2023年
22(本小題滿分13分)
已知函式f(x) =（k為常數，e=2.71828……是自然對數的底數），曲線y= f(x)在點（1，f(1)）處的切線與x軸平行。
（ⅰ）求k的值；
（ⅱ）求f(x)的單調區間；
（ⅲ）設g(x)=(x2+x),其中為f(x)的導函式，證明：對任意x＞0，。
解析：由f(x) =可得，而，即，解得；
（ⅱ），令可得，
當時，；當時，。
於是在區間內為增函式；在內為減函式。
簡證（ⅲ），
當時，，.
當時，要證。
只需證，然後建構函式即可證明.
2023年
21、（本小題滿分13分）
設函式（是自然對數的底數，）
（ⅰ）求的單調區間、最大值；
討論關於的方程根的個數。
21、解：（ⅰ），
由，解得，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減.
所以，函式的單調遞增區間是，單調遞減區間是，
最大值為.
令.1） 當時，，則，
所以.因為，所以因此在上單調遞增.
（2）當時，，則，
所以.因為，
所以.又，
所以，即，
因此在上單調遞減.
綜合（1）（2）可知當時，.
當，即時，沒有零點，
故關於的方程的根的個數為0；
當，即時，只有乙個零點，
故關於的方程的根的個數為1；
當，即時，
① 當時，由（ⅰ）知
，要使，只需使，即 ；
② 當時，由（ⅰ）知
，要使，只需使，即 ；
所以時，有兩個零點，
故關於的方程的根的個數為2.
綜上所述，
當時，關於的方程的根的個數為0；
當時，關於的方程的根的個數為1；
當時，關於的方程的根的個數為2.
2023年
（20）（本小題滿分13分）
設函式（為常數，是自然對數的底數）.
（ⅰ）當時，求函式的單調區間；
（ⅱ）若函式在內存在兩個極值點，求的取值範圍.
20．解：由題，。由可得，所以當時，，函式單調遞減，當時，，函式單調遞增。所以，的單調遞減區間為，單調遞增區間為；
由知，時，函式在內單調遞減，所以在內不存在極值點；當時，設，因，當時，當時，，函式單調遞增。所以在內不存在兩個極值點；當時，得：當時，，函式單調遞減，當時，，函式單調遞增。
所以函式的最小值為。函式在內存在兩個極值點，當且僅當，解得。綜上所述，函式在內存在兩個極值點時，的取值範圍為。
2023年
（21）（本小題滿分14分）設函式，其中.
（ⅰ）討論函式極值點的個數，並說明理由；
（ⅱ）若，成立，求的取值範圍.
解：（ⅰ），定義域為，設，
當時，，函式在為增函式，無極值點.
當時，，
若時，，函式在為增函式，無極值點.
若時，設的兩個不相等的實數根，且，
且，而，則，
所以當單調遞增；
當單調遞減；
當單調遞增.
因此此時函式有兩個極值點；
當時，但，，
所以當單調遞増；
當單調遞減.
所以函式只有乙個極值點。
綜上可知當時的無極值點；當時有乙個極值點；當時，的有兩個極值點.
（ⅱ）由（ⅰ）可知當時在單調遞增，而，
則當時，，符合題意；
當時，，在單調遞增，而，
則當時，，符合題意；
當時，，所以函式在單調遞減，而，
則當時，，不符合題意；
當時，設，當時，
在單調遞增，因此當時，
於是，當時，
此時，不符合題意.
綜上所述，的取值範圍是.
另解：（ⅰ），定義域為
，當時，，函式在為增函式，無極值點.
設，當時，根據二次函式的影象和性質可知的根的個數就是函式極值點的個數.
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