第三章導數及其應用
第一部分五年高考薈萃
2023年高考題
一、選擇題
1.(2023年廣東卷文)函式的單調遞增區間是
a. b.(0,3) c.(1,4) d.
答案 d
解析 ,令,解得,故選d
2.（2009全國卷ⅰ理） 已知直線y=x+1與曲線相切，則α的值為
a.1b. 2c.-1d.-2
答案 b
解:設切點，則,又
.故答案選b
3.（2009安徽卷理）已知函式在r上滿足，則曲線
在點處的切線方程是 ( )
a. b. c. d.
答案 a
解析由得幾何，
即，∴∴，∴切線方程，即選a
4.（2009江西卷文）若存在過點的直線與曲線和都相切，則等於
a．或 b．或 c．或d．或
答案 a
解析設過的直線與相切於點，所以切線方程為
即，又在切線上，則或，
當時，由與相切可得，
當時，由與相切可得，所以選.
5.（2009江西卷理）設函式，曲線在點處的切線方程為，則曲線在點處切線的斜率為
a． b． c． d．
答案 a
解析由已知，而，所以故選a
力。6.（2009全國卷ⅱ理）曲線在點處的切線方程為
a. b. c. d.
答案 b
解 ,
故切線方程為,即故選b.
7.（2009湖南卷文）若函式的導函式在區間上是增函式，
則函式在區間上的圖象可能是
abcd．
解析因為函式的導函式在區間上是增函式，即在區間上各點處的斜率是遞增的，由圖易知選a. 注意c中為常數噢.
8.（2009遼寧卷理）若滿足2x+=5, 滿足2x+2(x－1)=5
a. b.3 c. d.4
答案 c
解析由題意
②所以,即2令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)
∴5－2t＝2log2(t－1)與②式比較得t＝x2
於是2x1＝7－2x2
9.（2009天津卷理）設函式則
a在區間內均有零點
b在區間內均無零點。
c在區間內有零點，在區間內無零點。
d在區間內無零點，在區間內有零點。
【考點定位】本小考查導數的應用，基礎題。
解析由題得，令得；令得；得，故知函式在區間上為減函式，在區間
為增函式，在點處有極小值；又
，故選擇d。
二、填空題
10.（2009遼寧卷文）若函式在處取極值，則
解析 f』(x)＝
f』(1)＝＝0 a＝3
答案 3
11.若曲線存在垂直於軸的切線，則實數的取值範圍是 .
解析解析由題意該函式的定義域，由。因為存在垂直於軸的切線，故此時斜率為，問題轉化為範圍內導函式存在零點。
解法1 （影象法）再將之轉化為與存在交點。當不符合題意，當時，如圖1，數形結合可得顯然沒有交點，當如圖2，此時正好有乙個交點，故有應填
或是。解法2 （分離變數法）上述也可等價於方程在內有解，顯然可得
12.（2009江蘇卷）函式的單調減區間為
解析考查利用導數判斷函式的單調性。
，由得單調減區間為。亦可填寫閉區間或半開半閉區間。
13.（2009江蘇卷）在平面直角座標系中，點p在曲線上，且在第二象限內，已知曲線c在點p處的切線的斜率為2，則點p的座標為 .
解析考查導數的幾何意義和計算能力。
，又點p在第二象限內，點p的座標為（-2，15）
答案【命題立意】:本題考查了指數函式的圖象與直線的位置關係,隱含著對指數函式的性質的考查,根據其底數的不同取值範圍而分別畫出函式的圖象解答.
14.（2009福建卷理）若曲線存在垂直於軸的切線，則實數取值範圍是
答案解析由題意可知，又因為存在垂直於軸的切線，
所以。15.(2009陝西卷理)設曲線在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫座標為,令，則的值為
答案 -2
16.（2009四川卷文）設是已知平面上所有向量的集合，對於對映，記的象為。若對映滿足：對所有及任意實數都有，則稱為平面上的線性變換。現有下列命題：
①設是平面上的線性變換，，則
②若是平面上的單位向量，對，則是平面上的線性變換；
③對，則是平面上的線性變換；
④設是平面上的線性變換，，則對任意實數均有。
其中的真命題是寫出所有真命題的編號）
答案 ①③④
解析 ①：令，則故①是真命題
同理，④：令，則故④是真命題
③：∵，則有
是線性變換，故③是真命題
②：由，則有
∵是單位向量，≠0，故②是假命題
【備考提示】本小題主要考查函式，對應及高等數學線性變換的相關知識，試題立意新穎，
突出創新能力和數學閱讀能力，具有選拔性質。
17.（2009寧夏海南卷文）曲線在點（0,1）處的切線方程為
答案解析 ，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即
三、解答題
18.（2009全國卷ⅰ理）本小題滿分12分。（注意：在試題卷上作答無效）
設函式在兩個極值點，且
（i）求滿足的約束條件，並在下面的座標平面內，畫出滿足這些條件的點的區域；
(ii)證明：
分析（i）這一問主要考查了二次函式根的分布及線性規劃作可行域的能力。
大部分考生有思路並能夠得分。由題意知方程有兩個根
則有故有
右圖中陰影部分即是滿足這些條件的點的區域。
(ii)這一問考生不易得分，有一定的區分度。主要原因是含字母較多，不易找到突破口。此題主要利用消元的手段，消去目標中的，（如果消會較繁瑣）再利用的範圍，並借助（i）中的約束條件得進而求解，有較強的技巧性。
解析由題意有
又消去可得．
又，且19.（2009浙江文）（本題滿分15分）已知函式 ．
（i）若函式的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是，求的值；
（ii）若函式在區間上不單調，求的取值範圍．
解析 （ⅰ）由題意得
又 ，解得，或
（ⅱ）函式在區間不單調，等價於
導函式在既能取到大於0的實數，又能取到小於0的實數
即函式在上存在零點，根據零點存在定理，有
， 即：
整理得：，解得
20.（2009北京文）（本小題共14分）
設函式.
（ⅰ）若曲線在點處與直線相切，求的值；
（ⅱ）求函式的單調區間與極值點.
解析本題主要考查利用導數研究函式的單調性和極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力．
（ⅰ）,
∵曲線在點處與直線相切，
∴（ⅱ）∵,
當時，，函式在上單調遞增，
此時函式沒有極值點.
當時，由，
當時，，函式單調遞增，
當時，，函式單調遞減，
當時，，函式單調遞增，
∴此時是的極大值點，是的極小值點.
21.（2009北京理）（本小題共13分）
設函式（ⅰ）求曲線在點處的切線方程；
（ⅱ）求函式的單調區間；
（ⅲ）若函式在區間內單調遞增，求的取值範圍.
解析本題主要考查利用導數研究函式的單調性和極值、解不等式等基礎知識，考查
綜合分析和解決問題的能力．
（ⅰ）,
曲線在點處的切線方程為.
（ⅱ）由，得，
若，則當時，，函式單調遞減，
當時，，函式單調遞增，
若，則當時，，函式單調遞增，
當時，，函式單調遞減，
（ⅲ）由（ⅱ）知，若，則當且僅當，
即時，函式內單調遞增，
若，則當且僅當，
即時，函式內單調遞增，
綜上可知，函式內單調遞增時，的取值範圍是.
22.(2009山東卷文)（本小題滿分12分）
已知函式,其中
（1）當滿足什麼條件時,取得極值?
（2）已知,且在區間上單調遞增,試用表示出的取值範圍.
解: (1)由已知得,令,得,
要取得極值,方程必須有解,
所以△,即, 此時方程的根為
,,所以
當時,所以在x 1, x2處分別取得極大值和極小值.
當時,所以在x 1, x2處分別取得極大值和極小值.
綜上,當滿足時, 取得極值.
(2)要使在區間上單調遞增,需使在上恆成立.
即恆成立, 所以
設,,令得或(捨去),
當時,,當時,單調增函式;
當時,單調減函式,
所以當時,取得最大,最大值為.
所以當時,,此時在區間恆成立,所以在區間上單調遞增,當時最大,最大值為,所以
綜上,當時, ; 當時,
【命題立意】:本題為三次函式,利用求導的方法研究函式的極值、單調性和函式的最值,函式在區間上為單調函式,則導函式在該區間上的符號確定,從而轉為不等式恆成立,再轉為函式研究最值.運用函式與方程的思想,化歸思想和分類討論的思想解答問題.
22.設函式，其中常數a>1
(ⅰ)討論f(x)的單調性;
(ⅱ)若當x≥0時，f(x)>0恆成立，求a的取值範圍。
解析本題考查導數與函式的綜合運用能力，涉及利用導數討論函式的單調性，第一問關鍵是通過分析導函式，從而確定函式的單調性，第二問是利用導數及函式的最值，由恒成立條件得出不等式條件從而求出的範圍。
導數專題之導數的綜合應用2證明問題
方法歸納 1 設函式，證明 當時，證明 2 已知函式.證明 解 由題知，即.當時，當時，3 已知函式 設函式，當存在最小值時，求其最小值的解析式 對 中的和任意的，證明 解 由條件知 當a 0時，令，解得，當時，在上遞減 當時，在上遞增 是在上的唯一極值點，從而也是的最小值點 最小值 當時，在上遞增...
高中導數題的解題技巧
命題趨向 導數命題趨勢 導數應用 導數 函式單調性 函式極值 函式最值 導數的實際應用 考點透視 1 了解導數概念的某些實際背景 如瞬時速度 加速度 光滑曲線切線的斜率等 掌握函式在一點處的導數的定義和導數的幾何意義 理解導函式的概念 2 熟記基本導數公式 掌握兩個函式和 差 積 商的求導法則 了解...
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