浙江省紹興縣華舍實驗學校錢建軍 312033
摘要：思想並不總是必須完全沿著相同思路進行，可以向相反方向運動[1]。所以學生對知識的理解一般可以有兩種方式，一種是正向的，一種是反面的。
在學生出錯訂正的過程中，我們總是引導學生去理解正確的想法。至於為什麼錯？學生到底解答了什麼問題？
學生的出錯有哪些合理因素？等這些問題經常被我們所忽視。那麼「如何讓學生錯得明明白白？
」本文擬從實踐的角度做出一些解釋。
關鍵字： 出錯，分析錯因，教育價值，理解
「知其然，也要知其所以然」，意思是知道是怎麼樣的，還要知道為什麼是那樣的。用在我們教學中，我們的理解有時不夠全面。我們總是讓學生知道「這樣是對的」，並且努力讓學生明白為什麼那樣是對的。
行話講，那就叫「有意義的學習」。但如果我們只認識對的，或者總是用對的去否定錯的，而不能分析錯在**，那並不是對知識的全面理解。
比方說曾經有這樣一道題目：三個人一起住店。房錢30塊。
每個人掏10塊。老闆收30。後來老闆覺得收的貴了。
就找回去他們5塊錢。讓服務員送過去。服務員私心一起。
於是乙個人只給了1塊錢。自己拿了兩塊錢。也就是說，這三個住店的人乙個人只花了9塊錢。
3乘9等於27塊錢。加上服務員兜裡的2塊錢。是29塊錢，那麼少的一塊錢哪去了呢？
我們如果不能指出錯在**，那就說明我們對問題的理解並不完整。（事實上30減去服務員扣下的2塊後，3個人花的總錢數不是27，而是28）
某年小生畢業考試有一道題：小a上山平均每小時行20千公尺，原路返回下山每小時行30千公尺，整一趟他平均每小時行多少千公尺？
（20+30）/2=25（千公尺）這樣解題的學生高達95%以上。
老師這樣講解：求平均速度需要用總路程除以總時間。這裡可以假設上山總路程為60千公尺，那麼上山時間為60/20=3小時，下山時間為60/30=2小時，總時間為2+3=5小時，總路程為60+60=120千公尺，所以整趟平均速度是120/（2+3）=24千公尺。
我們也可以把上山一趟看作單位「1」，那麼上山時間為1/20，同理下山時間為1/30，那麼平均速度為（1+1）/（1/20+1/30）=24千公尺，整個講解還配合了畫圖理解，可謂明明白白。
對於老師來說是講清楚了，但是整個講解始終在說明應該那樣去做，那樣是對的，並沒有說明（20+30）/2=25（千公尺），錯在**？教師教得清楚，但學生學的困惑也由此產生。惑至少有兩點：
為什麼不能用平均數相加除以個數的方法？為什麼要假設60，假設單位「1」？這兩個問題沒解決，任何的訂正都是治標不治本，錯的還將繼續錯。
根據有關對兒童思維水平的研究發現，他們不容易把握事物的本質，容易被一些形式的東西所影響。有些常見的事例也很好地說明了這個問題：比如一次某父親問女兒，在盤子裡先放了2個梨，後來又放了3個梨，一共放了幾個梨？
女兒的第一反應是，我們幼兒園老師沒有讓我們放梨，我們放的是蘋果。在上述求平均數一題，如果不加深入分析，學生容易把「移多補少」，「先合再分」當成理解平均數的一種直觀形式，並把這種直觀形式簡單地移植到其它求平均數的問題中去。那麼如何破解這個問題？
我想最好的辦法莫過於引導學生進行思辨。如（20+30）/2=25（千公尺），20+30可以表示什麼意思？一次1小時平均每小時行20千公尺，一次1小時平均每小時行30千公尺，除以2，說明共行了2小時（上山1小時，下山1小時），那麼這樣看來，上山只行了20千公尺，下山行了30千公尺，路程不一樣，這與題目中原路返回的意思想矛盾。
只有明白了這樣解答的錯誤原因以後再去研究正確的解答，才會打消學生心頭的疑慮，從而有效地接納老師後續的指導。
在日常教學中，我們不必迴避學生的錯誤。相反地，要把學生的錯解當成可利用的教學資源，通過分析錯因，讓學生錯得明明白白，以利於他們對正確知識的有效建構。這個過程好比是乙個人得了病，體內產生了病毒，要尋求**。
錯因好比是病毒，講解正確解答思路好比是給人體進補，我們治病的過程最好是先給他「祛除毒病」而不是先「進補」。因為如果體內毒素不除，往往又會舊病**。但是，我們很多時候為了講效率，抓進度，往往是一味地在給學生「進補」，所以學生自然常做常錯。
倘若學生明確了錯誤之所在，並且還善於分析為什麼錯的道理，那麼從一定程度講，他已經產生了某些抗體。當然，有些錯因很明顯，很直接，沒有多少思維含量：比如把數字看錯了，教師只需要做些提醒；有些是根本不懂題目意思瞎矇一通，教師要像上新課那樣對其進行點撥或教給他正確的思路。
需要錯因分析、深入究錯的物件是那些似懂非懂的問題，教師要善於找出學生思維中的合理成份，針對錯誤表現，讓學生說明為什麼錯的原因。
其實，從學生數學學習的過程來看，學生也是需要有錯因分析的。以筆者記錄自己教學中例項為證
某日，一位女生拿著作業本找到我（作業題見右圖），
很疑惑地對我說：「老師，我這樣做**錯了？」
師：你是怎麼想的？（學生把思路講述了一遍）。
師：為什麼想到左右兩邊要乘以5/4,
生：因為左邊是除以4/5,那麼只要乘以4/5就可以抵消掉了。
師：你是先算哪一步？
生：先算後面的乘法，**不對了？
師：那麼如果是6÷4×4你覺得要先算哪一步？
生：噢，我懂了，我是把計算順序弄錯了
師：你知道為什麼不能先算4×4了嗎？
生：知道了。
學生開心地離開了。
在這個過程中，我們不難看出，學生有究錯的意識。在我們日常教學中，可能是出於某種原因（或意志力不強，學生不能持續這種意識，或生性膽小，不敢與人交流）學生主動問詢老師的並不十分普遍。所以，如果有學生對學習有疑問，並能勇敢的提出來，不管提得是對是錯，教師首先得肯定他們的這種勇氣，這是對學生獨立思考結果的一種尊重與呵護。
然後，教師開始引導學生一步一步地分析條件，查詢錯因，直至學生真正明了，這裡我們也並不排除教師進行直接講授。再看整個過程，如果只是簡單地以「改對了」去衡量學生的認知，那就會存在一些變數：有些學生用算式中各部分之間的關係進行訂正（也即用被除數等於除數乘以商的方法），那麼他們就很難發現「計算順序」這一問題的真正結症。
如果知道了問題的結症，我們再設計（右圖）的對比練習，效果會更好。
還有乙個例子：學校的美術興趣組有70人，美術興趣組的人數比**興趣組的人數多25%。**興趣組有多少人？（某日作業題）
學生列式：70×（1－25%）
在分析中，學生提出這樣是不對的，這道題目應該是70÷（1＋25%）＝56人，這裡先看標準量，**興趣組是單位「1」的量，單位「1」不知道，用除法，比它多25%，所以要1+25%。這時教師問錯解的學生，而他只是似懂非懂地點點頭。教師講道：
剛才的同學只解釋了70÷（1＋25%）正確的理由，還沒有指出70×（1－25%）錯誤的原因。誰會？有學生發言：
如果照70×（1－25%）算的話，算出來的人數會有小數了，有半個人了。我們知道，如果用這種方式來判斷解題的正誤，那顯然是站不住腳的。此時，我覺得若想真正解釋錯因，恐怕得讓他們好好思考幾分鐘。
經過討論後，學生終於明白：我們已經知道美術興趣組的人數比**興趣組的人數多25%，通過畫圖，倒過來說**興趣小組人數比美術組的人數少20%， 相當於美術組的80%，
而70×（1－25%）＝70×75%，意思就變成了**小組人數等於美術小組人數（70）的75%，所以錯了。
在講解的過程中，講的人自信堅定，聽的人神情專注。通過對錯因的深入追究，學生的思維顯得嚴謹又有條理，他們的面部神情由迷茫轉為了釋然，講解的同學更是有些微微的驕傲。連帶著，學生還發現了另一種解答，**組的人數等於70×80%，大家都表示理解。
在本題中，錯解的學生顯然不是出於粗心，而是對知識的不理解，通過錯因分析則可較好地幫他補上一課。所以筆者以為錯因分析還至少有兩種教育價值：一是知識學習上的深入，他可以提高優等生的思維水平，（通常是指論證水平，因為一般的錯因總是與實際的規則相矛盾），同時教師可以根據學生思維的展現，查證學生的理解缺陷，從而改進教學方法，有效幫助中下生理解學習內容，跟上教學程序。
二是思想意識的進步，因為追根究底的學習習慣可以培養學生一種質疑問難的學習品質，而這正是數學學習最寶貴的精神。
那麼，對於一線老師來講，如何有效地執行讓學生「知其錯，更知其所以錯」呢？筆者根據自己的教學實踐得出幾條路子，謹供**：一、對於錯誤率高的題目，教師組織全體學生進行分析討論，慣性地指出：
錯在什麼地方，為什麼錯？這樣做整體推進效果較好，但也存在一定的問題，那就是不容易把握每個學生的思考投入。二、建立作業訂正本，抄錄學生自己的出錯練習，用記號的形式表現出錯誤的地方，同時寫出錯誤原因，又寫上正確思路。
這樣做可以保證學生都有自己的思考，但也有學生不樂意做，覺得抄題目費時費力，所以教師要加強這方面的思想教育與引導，幫助學生明確這樣做的意義與價值。三、一對一個別輔導，這主要對中下生，讓他說思路，或教給他思路，同時很重要的一點，教師要幫助他明確：如果照他那樣的解答，是一種什麼意思，會是一種什麼結果。
以上的做法在筆者自己的班級裡，經過一段時間的教學強化以後，有些學生的意識確實發生了可喜的變化。幾則學生的數學日記很好地反映了這個情況。
日記一：……漸漸地，我們發現了這樣做（改錯本）的好處。有些不會做的題目或模稜兩可的都可以抄下來，以便以後碰到此類題目就可以隨手翻翻，不然，一本本翻過去就「有事情做了」，還有，乙個問題，如果只是完成任務似地抄上去，也是沒有用的，只有你真正地了解，分析透徹之後，才能發揮它的真正作用學生甲）
日記二：……有一道題目是這樣的，12÷（1/2+1/3+1/4+1/6），當我看到12、2、3、4、6就想到它們的關係：12是2、3、4、5的倍數，它們是12的因數。
簡便方法一般會用到乘法分配律，可是除法怎麼辦呢？於是我就這樣改了：12*（2+3+4+6），之前省略了一步是12÷1/2 + 12÷1/3 + 12÷1/4 + 12÷1/6，除以這個數就是乘以這個數的倒數，於是12*2+12*3+12*4+12*6=12*（2+3+4+6），可是它是錯的，為什麼呢？
本來我很疑惑，但是我後來懂了，如果我們把小於1的數看作小的，大於1的看成大的，這樣12÷（1/2+1/3+1/4+1/6），劃橫線的是小的+小的+小的+小的=大的，12除以大的=大的除以大的=小的嘍，那如果換成是12*（2+3+4+6），（大的+大的+大的+大的）=更大的。大的* 更大的=很大的。從這方面來說是錯的，還有，數學中根本不存在著什麼除法分配律，要分配也要轉化成乘法分配律。
（學生乙）
很高興學生能用自己的語言，憑藉數學學習經驗，通過推理、比較等思維活動，反向詮釋除法分配律的錯誤。兩則學生日記很好反映出它們的意識在進步，思考力在增強。
當然，在知錯糾錯的過程中，有個別學生也出現了一些問題，由於主觀意識上的不明確，學生把知錯、糾錯的任務當成了負擔。自己想不出，求教同學，同學給他講了解題思路，他不管懂不懂，只是像背語文課文那樣囫圇吞棗地記住了解題思路，然後到老師那裡背一遍，對於這樣的同學，用心的老師從學生講話的神情中就可以發現端倪，可以在某些關鍵處向學生提一兩個問題，要求學生解釋為什麼錯的原因。
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