最小二乘法在生活中的應用
作者：陳愷豪，14274069
丁哲琨，14274071
李沛磊，14274074
班級：思源1404
導師：李思澤
2023年9月
摘要：在科學研究中，為了揭示某些相關量之間的關係，找出其規律，往往需要做資料擬合，其常用方法一般有傳統的插值法、最佳一致逼近多項式、最佳平方逼近、最小二乘擬合、三角函式逼近、帕德（pade）逼近等，以及現代的神經網路逼近、模糊逼近、支援向量機函式逼近、小波理論等。其中，最小二乘法是一種最基本、最重要的計算技巧與方法。
它在建模中有著廣泛的應用，用這一理論解決討論問題簡明、清晰，特別在大量資料分析的研究中具有十分重要的作用和地位。隨著最小二乘理論不斷的完善，其基本理論與應用已經成為乙個不容忽視的研究課題。
關鍵詞：最小二乘法，應用程式，葉綠素，戰艦
1、引言
所測量資料的實際值和理論值是否接近關係到工程最後質量的好壞。。。所以資料處理的作用尤為關鍵。最小二乘法就是其中重要方法之一。
最小二乘法又稱最小平方法是一種數學優化技術。它通過最小化誤差的平方和尋找資料的最佳函式匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的資料並使得這些求得的資料與實際資料之間誤差的平方和為最小。
最小二乘法還可用於曲線擬合。其他一些優化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘法來表達。
2、最小二乘法的線性函式模型
典型的一類函式模型是線性函式模型。最簡單的線性式是，寫成行列式，為
直接給出該式的引數解：
和其中，為t值的算術平均值。也可解得如下形式：
對於一般線性情況：
若含有更多不相關模型變數，可如組成線性函式的形式
即線性方程組
通常人們將tij記作資料矩陣a，引數xj記做引數向量x，觀測值yi記作b，則線性方程組又可寫成：
即上述方程運用最小二乘法匯出為線性平差計算的形式為：
。此為最小化問題的解。
3、最小二乘法在c語言中的程式：
#include <>
void main ()
a=(num*n-l*m)/(num*p-l*l);
b=(p*m-n*l)/(num*p-l*l);
printf("最小二乘法所算得的斜率和截距分別為%f和%f\n",a,b);
}else printf("mun"輸入有誤！);
}4、最小二乘法的應用例項
4、1基於最小二乘法的油菜葉片葉綠素含量檢測系統的設計
葉綠素是作物生長中的重要因素，是植物營養光合作用及生長狀況的良好指示劑。進行科學施肥管理需要對作物進行實時、可靠的營養診斷。目前，檢測植物中的葉綠索含量多採用日本美能達公司生產的spad一502儀。
但spad一502儀的**較貴，這極大提高了葉綠素的檢測成本。
針對以上問題本文基於油菜葉中的葉綠素對400~500 nm和600~700 nm處的光譜的吸收特性，根據透射光強與葉綠素含量成正比關係，設計了一種廉價的便攜非接觸式油菜葉片葉綠素含量檢測系統，系統通過已知樣本葉片的電壓和spad值，採用最小二乘法，來擬合電壓一葉綠素對應直線以減小誤差，最後用電壓一葉綠素對應直線測量其它葉片的葉綠素含量。實驗證明，本系統測量結果準確、成本低廉、使用方便。
由於油菜葉的葉綠素含量(spad值)與透射光強成正比關係，通過光電轉換，則葉綠素含量(spad值)與電壓成線性關係．但是由於spad值只精確到小數點後兩位以及環境因素的干擾，存在較大誤差．本系統採用最小二乘法對電壓一葉綠素對應直線進行修正。
本系統採用多個應用spad-502plus測試過的葉綠素含量的油菜葉子，作為計算電壓—葉綠素含量對應直線的樣本點。通過最小化誤差的平方和尋找資料的最佳直線匹配。設樣本葉片的電壓值為xi，對應的葉綠素含量為yi，求得電壓—葉綠素的最佳對應關係為y=a』x+b』
然後通過直線y=a』x+b』及微控制器測量得到的電壓值計算被測葉子的葉綠素含量（spad值）。
在常溫濕度下，實驗首先應用葉綠素計spad-502plus測量20個新鮮的油菜葉片，其中葉綠素計spad-502plus的誤差為±1.0spad單位。
其中10個葉片作為生成電壓—葉綠素對應直線的樣本葉片，10個葉片作為測量系統誤差的實驗葉片。按下按鍵1，選擇建立曲線模式，測得樣本葉片對應的電壓值，如表1所示。
由於a／d轉換精度以及光電轉換過程中的外界光源的干擾，以及電源的雜訊會對測試結果會產生較大的誤差，甚至嚴重偏離。結果顯示本系統採用最小二乘法減小了誤差，保證測量誤差在12％以內，基本可以測得油菜葉的葉綠素含量。圖5(a)給出了實葉片的對應分布點及電壓一葉綠素對應直線，其中橫座標為電壓，縱座標為spad值。
圖5(b)給出了系統的測量誤差曲線，其中橫座標為實驗葉片序號，縱座標為誤差。
該油菜葉片葉綠素含量檢測系統以at89c51為控制核心，通過油菜葉的樣本葉片確定電壓一葉綠素擬合直線引數，根據此引數檢測其它油菜葉葉片中葉綠素的含量。整個系統成本低廉、結構簡單，能準確測量被檢測目標的葉綠素含量，並對資料進行儲存。可為油菜葉葉綠素的含量的無損、快速檢測提供一種新的方法，有很高的應用價值。
4、2戰艦問題
最小二乘法應用例項
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