一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
（1）設則複數為實數的充要條件是( )
（a） （b） （c） （d）
（2）設,若f(x)存在,則常數b的值是( )
（3）從一群學生中抽取乙個一定容量的樣本對他們的學習成績進行分析,前三組是不超過80分的人,其頻數之和為20人,其頻率之和為0.4,則所抽取的樣本的容量是( )
a.100b.80c.40d.50
（4）設函式y=f(x)是線性函式,已知f(0)=1,f(1)=－3,則該函式的導數f′(x)等於( )
a.4xb.－4c.－2d.6
（5）函式y=(x+1)(x2－1)的單調區間是( )
a.增區間為(－∞,－1)和(,+∞),減區間為(－1,)
b.增區間為(－∞,－1)∪(,+∞),減區間為(－1,)
c.增區間為(－,+∞),減區間為(－∞,－)和(,+∞)
d.增區間為(－1,),減區間為(－∞,－1)和(,+∞)
（6）從50件產品中，採用逐一抽取的方法抽取5件產品，若其中只有1件次品，在送質檢部門進行檢驗時次品被抽到的概率是( )
a.0.1b.0.02c.0或1d.以上均不對
（7）曲線y=x3+3x2+6x－10的切線中，斜率最小的切線方程是( )
a.3x+y－10=0b. x=－1 c. 3x－y－11=0 d.不存在
（8）已知f(x)=2x3－6x2+a(a是常數)在［－2，2］上有極大值是3，那麼在［－2，2］上f(x)的最小值是( )
a.－5b.－11c.－29d.－37
（9）設ξ~b（n，p）且eξ=15，dξ=，則n、p的值分別是( )
a.50b.60c.50d.60，
（10）拋擲2顆骰子,所得點數之和ξ是乙個隨機變數,則p(ξ≤4)為( )
abcd
（11）某處有供水龍頭5個,調查表明每個水龍頭被開啟的可能性為,隨機變數ξ表示同時被開啟的水龍頭的個數,則p(ξ=3)為( )
a.0.0081b.0.0729c.0.0525d.0.0092
（12）若隨機變數ξ~n(μ,σ2),且dξ=1,eξ=3,則p(－1＜ξ≤1＝等於( )
a.2φ(1)－1 b.φ(4)－φ(2) c.φ(－4)－φ(－2d.φ(2)－φ(4)
二．填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在答題卡的相應位置。
（13）設生產x個單位產品的總成本函式是c(x)=8+x2,則生產8個單位產品時，邊際成本是
（14）乙個社會調查機構就某地居民的月收入調查了10 000人，並根據所得資料畫了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）．為了分析居民的收入與年齡、學歷、職業等方面的關係，要從這10 000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進一步調查，則在［2500，3000）（元）月收入段應抽出人．
（15）用數學歸納法證明,假設n=k時,不等式成立,則當n=k+1時,應推證的目標不等式是
（16）已知複數(2k2－3k－2)+(k2－k)i在復平面內對應的點在第二象限，則實數k的取值範圍是
三．解答題：本大題共6小題，共74分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（17）（本小題滿分12分）一盒中裝有零件12個，其中有9個**，3個次品，從中任取乙個，如果每次取出次品就不再放回去，再取乙個零件，直到取得**為止．求在取得**之前已取出次品數的期望．
（18）（本小題滿分12分）已知數列｛｝的前n項和為sn，求sn.
（19）證明當時,
（20）（本小題滿分12分）統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗
油量（公升）關於行駛速度（千公尺/小時）的函式解析式可以表示為：
已知甲、乙兩地相距100千公尺。
（i）當汽車以40千公尺/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少公升？
（ii）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少公升？
（21）（本小題滿分12分）
已知,證明:
（22）（本小題滿分14分）已知函式f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－與x＝1時都取得極值。1.求a、b的值與函式f（x）的單調區間
2.若對x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恆成立，求c的取值範圍。
長泰二中高三數學理科試卷參***
一．選擇題：
（1）d （2）b （3）d （4）b （5）a （6）a
（7）c （8）d （9）b （10）c （11）a （12）b
二．填空題：（13）2；（14）25；
（15）；（16）(－,0)∪(1,2)
三．解答題：
17.解：設取得**之前已取出的次品數為ξ，顯然ξ所有可能取的值為0，1，2，3
當ξ=0時，即第一次取得**，試驗停止，則
p（ξ=0）=
當ξ=1時，即第一次取出次品，第二次取得**，試驗停止，則
p（ξ=1）=
當ξ=2時，即第
一、二次取出次品，第三次取得**，試驗停止，則
p（ξ=2）=
當ξ=3時，即第
一、二、三次取出次品，第四次取得**，試驗停止，則p（ξ=3）=
所以，eξ=
18.解：
故19.證明原不等式即為
令則在上連續,在內,因此函式在上單調增加.從而當時,.
由於即亦即
（20）本小題主要考查函式、導數及其應用等基本知識，考查運用數學知識分析和解決實際問題的能力。滿分12分。
解：（i）當時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，
要耗沒（公升）。
答：當汽車以40千公尺/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5公升。
（ii）當速度為千公尺/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為公升，
依題意得
令得當時，是減函式；
當時，是增函式。
當時，取到極小值
因為在上只有乙個極值，所以它是最小值。
答：當汽車以80千公尺/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25公升。
21. 證明:用數學歸納法證明.
(1)當時,左邊=,右邊,等式成立;
(2)假設當時等式成立,即有:
.那麼當時,
左邊==右邊;
所以當時等式也成立.
綜合(1)(2)知對一切,等式都成立.
22. 解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b
由f（）＝，f（1）＝3＋2a＋b＝0得
a＝，b＝－2
f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函式f（x）的單調區間如下表：
所以函式f（x）的遞增區間是（－，－）與（1，＋）
遞減區間是（－，1）
（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x〔－1，2〕，當x＝－時，f（x）＝＋c
為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。
要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恆成立，只需c2f（2）＝2＋c
解得c－1或c2
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