第12章《軸對稱》常考題集（16）：12.3 等腰三角形
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解答題1．如圖，已知d是等腰三角形abc底邊bc上的一點，它到兩腰ab、ac的距離分別為de、df，請指出當d在什麼位置時，de=df，並加以證明．
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2．在一次數學課上，王老師在黑板上畫出圖，如圖，並寫下了四個等式：①ab=dc，②be=ce，③∠b=∠c，④∠bae=∠cde．要求同學從這四個等式中選出兩個作為條件，推出△aed是等腰三角形．請你試著完成王老師提出的要求，並說明理由．（寫出一種即可）
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3．文文和彬彬在證明「有兩個角相等的三角形是等腰三角形」這一命題時，畫出圖形，寫出「已知」，「求證」（如圖），她們對各自所作的輔助線描述如下：
文文：「過點a作bc的中垂線ad，垂足為d」；
彬彬：「作△abc的角平分線ad」．
數學老師看了兩位同學的輔助線作法後，說：「彬彬的作法是正確的，而文文的作法需要訂正．」
（1）請你簡要說明文文的輔助線作法錯在**；
（2）根據彬彬的輔助線作法，完成證明過程．
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4．如圖，在△abc中，點e在ab上，點d在bc上，bd=be，∠bad=∠bce，ad與ce相交於點f，試判斷△afc的形狀，並說明理由．
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5．已知：如圖，oa平分∠bac，∠1=∠2．
求證：△abc是等腰三角形．
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6．如圖，在△abc中，d，e分別是ab，ac上的一點，be與cd交於點o，給出下列四個條件：①∠dbo=∠eco；②∠bdo=∠ceo；③bd=ce；④ob=oc．
（1）上述四個條件中，哪兩個可以判定△abc是等腰三角形？
（2）選擇第（1）題中的一種情形為條件，試說明△abc是等腰三角形．
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7．兩個全等的含30°，60°角的三角板ade和三角板abc如圖所示放置，e，a，c三點在一條直線上，連線bd，取bd的中點m，連線me，mc．試判斷△emc的形狀，並說明理由．
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8．如圖，在△abc中，ab=ac，點d、e、f分別在bc、ab、ac邊上，且be=cf，ad+ec=ab．
（1）求證：△def是等腰三角形；
（2）當∠a=40°時，求∠def的度數；
（3）△def可能是等腰直角三角形嗎？為什麼？
（4）請你猜想：當∠a為多少度時，∠edf+∠efd=120°，並請說明理由．
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9．如圖，請在下列四個等式中，選出兩個作為條件，推出△aed是等腰三角形，並予以證明．（寫出一種即可）
等式：①ab=dc，②be=ce，③∠b=∠c，④∠bae=∠cde．
已知：求證：△aed是等腰三角形．
證明：★☆☆☆☆顯示解析
10．已知，如圖△abc中，ab=ac，d點在bc上，且bd=ad，dc=ac．將圖中的等腰三角形全都寫出來．並求∠b的度數．
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11．已知：點d是△abc的邊bc的中點，de⊥ac，df⊥ab，垂足分別為e，f，且bf=ce．
求證：△abc是等腰三角形．
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12．如圖，在△abc中，bo平分∠abc，co平分∠acb，de過o且平行於bc，已知△ade的周長為10cm，bc的長為5cm，求△abc的周長．
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13．如圖，已知ab=ac，d是ab上一點，de⊥bc於e，ed的延長線交ca的延長線於f，試說明△adf是等腰三角形的理由．
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14．如圖，已知等邊三角形abc中，點d，e，f分別為邊ab，ac，bc的中點，m為直線bc上一動點，△dmn為等邊三角形（點m的位置改變時，△dmn也隨之整體移動）．
（1）如圖1，當點m在點b左側時，請你判斷en與mf有怎樣的數量關係？點f是否在直線ne上？都請直接寫出結論，不必證明或說明理由；
（2）如圖2，當點m在bc上時，其它條件不變，（1）的結論中en與mf的數量關係是否仍然成立？若成立，請利用圖2證明；若不成立，請說明理由；
（3）若點m在點c右側時，請你在圖3中畫出相應的圖形，並判斷（1）的結論中en與mf的數量關係是否仍然成立？若成立，請直接寫出結論，不必證明或說明理由．
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15．如圖所示，△abc是等邊三角形，d點是ac的中點，延長bc到e，使ce=cd．
（1）用尺規作圖的方法，過d點作dm⊥be，垂足是m；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）求證：bm=em．
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16．如圖，e、f、g分別是等邊△abc的邊ab、bc、ac的中點．
（1）圖中有多少個三角形？
（2）指出圖中一對全等三角形，並給出證明．
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17．附加題，學完「幾何的回顧」一章後，老師布置了一道思考題：
如圖，點m，n分別在正三角形abc的bc，ca邊上，且bm=cn，am，bn交於點q．求證：∠bqm=60度．
（1）請你完成這道思考題；
（2）做完（1）後，同學們在老師的啟發下進行了反思，提出了許多問題，如：
①若將題中「bm=cn」與「∠bqm=60°」的位置交換，得到的是否仍是真命題？
②若將題中的點m，n分別移動到bc，ca的延長線上，是否仍能得到∠bqm=60°？
③若將題中的條件「點m，n分別在正三角形abc的bc，ca邊上」改為「點m，n分別在正方形abcd的bc，cd邊上」，是否仍能得到∠bqm=60°？…
請你作出判斷，在下列橫線上填寫「是」或「否」：①
是；②是；③否．並對②，③的判斷，選擇乙個給出證明．
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18．已知：△abc為等邊三角形，d為ab上任意一點，連線cd．
（1）在cd左下方，以bd為一邊作等邊三角形bde．（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）連線ae，求證：cd=ae．
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19．已知等邊△oab的邊長為a，以ab邊上的高oa1為邊，按逆時針方向作等邊△oa1b1，a1b1與ob相交於點a2．
（1）求線段oa2的長；
（2）若再以oa2為邊，按逆時針方向作等邊△oa2b2，a2b2與ob1相交於點a3，按此作法進行下去，得到△oa3b3，△oa4b4，…△oanbn（如圖）．求△oa6b6的周長．
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20．在△abc中，ab=ac，cg⊥ba交ba的延長線於點g．一等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為f，一條直角邊與ac邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經過點b．
（1）在圖1中請你通過觀察、測量bf與cg的長度，猜想並寫出bf與cg滿足的數量關係，然後證明你的猜想；
（2）當三角尺沿ac方向平移到圖2所示的位置時，一條直角邊仍與ac邊在同一直線上，另一條直角邊交bc邊於點d，過點d作de⊥ba於點e．此時請你通過觀察、測量de、df與cg的長度，猜想並寫出de+df與cg之間滿足的數量關係，然後證明你的猜想；
（3）當三角尺在（2）的基礎上沿ac方向繼續平移到圖3所示的位置（點f**段ac上，且點f與點c不重合）時，（2）中的猜想是否仍然成立（不用說明理由）．
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21．如圖：△abc和△ade是等邊三角形．證明：bd=ce．
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22．△abc為正三角形，點m是射線bc上任意一點，點n是射線ca上任意一點，且bm=cn，bn與am相交於q點，∠aqn等於多少度？
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23．等邊△abc邊長為6，p為bc上一點，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點落在點p上，使三角板繞p點旋轉．
（1）如圖1，當p為bc的三等分點，且pe⊥ab時，判斷△epf的形狀；
（2）在（1）問的條件下，fe、pb的延長線交於點g，如圖2，求△egb的面積；
（3）在三角板旋轉過程中，若cf=ae=2，（cf≠bp），如圖3，求pe的長．
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24．如圖，在△abc中，已知ab=ac=2a，∠abc=15°，cd是腰ab上的高，求cd的長．
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第2章《軸對稱圖形》常考題集 2 2軸對稱的性質 含答案
第2章 軸對稱圖形 常考題集 2.2 軸對稱的性質 填空題1 如圖，d e為 abc兩邊ab ac的中點，將 abc沿線段de摺疊，使點a落在點f處，若 b 55 則 bdf度 第1題第2題第3題 2 如圖，將紙片 abc沿de摺疊，點a落在點a 處，已知 1 2 100 則 a的大小等於度 3 如...
第10章軸對稱
10 1生活中的軸對稱 第一課時生活中的軸對稱 教學目的 1 通過展示軸對稱圖形的 使學生初步認識軸對稱圖形 2 通過試驗，歸納出軸對稱圖形概念，能用概念判斷乙個圖形是否是軸對稱圖形 3 培養學生的動手試驗能力 歸納能力和語言表述能力。重點 難點 軸對稱圖形的概念是教學重點，判斷圖形是否是軸對稱圖形...
第12章軸對稱第1和2課時
軸對稱一 軸對稱及軸對稱圖形 例1 情境匯入 提起對稱大家一定不陌生，看我們頭的左邊長了乙隻耳朵，右邊也長了乙隻耳朵，這就是對稱。許多建築的造型都是成對出現的，主體建築左右都是一樣的。還有筆直的柏油馬路 馬路上跑的汽車 自然飄落的雪花 蜜蜂及其修建的蜂窩都是對稱的造型，中間切開，一模一樣。對稱最顯而...