考研《線性代數》課程分析及應試策略
一、課程分析
1、分值比重較為穩定
2、題型及數量（03—13）
填空題 1個
選擇題 2個
解答題 2個
3、考試重點（07—13）
向量組的線性相關性、線性方程組、特徵值與特徵向量、二次型
2、應試策略
1、熟讀教材，掌握基本概念、結論（性質、定理、公式），以「不變應萬變」。
2、認真吃透考試大綱。
3、參加考研輔導班。
專題一矩陣特徵值的計算
矩陣的特徵值是線性代數的重要內容之一，也是考研的重點之一，題多分值大（見下表），需引起考生足夠重視．
求矩陣的特徵值是需要技巧的，方法選得好，結果就來得快，這就為考試贏得了時間．
引例設，則的3個特徵值是
此題結果立刻可得：6,0,0．
方法1——通過解特徵方程來求．（主要適用於數字型矩陣）
例1（99，數1，3分）設階矩陣的元素全為1，則的個特徵值是
【分析】的特徵多項式為
解特徵方程求得的個特徵值是（個0）．
注：此例用方法6求最快．
例2（12，數1，11分）已知，二次型的秩為2．（1）求實數的值；（2）求正交變換將化為標準形．
【解】（1）利用，可求得．
（2）當時，．由
可得的特徵值為0,2,6．
對，解線性方程組得基礎解系，
對，解線性方程組得基礎解系，
對，解線性方程組得基礎解系．
因為為實對稱矩陣，所以它對應於不同特徵值的特徵向量必正交，故只需將基礎解系單位化．得
令，則在正交變換，化為標準形
．例3 設4階矩陣滿足條件，，，則的伴隨陣的乙個特徵值為
【分析】由，知，故有一特徵值．
由，得，又，故，所以的乙個特徵值為．
注：此例中求的特徵值用到了如下結論——設是階矩陣a的1個非零特徵值，則是的1個特徵值．
方法2——利用特徵值的定義來求．（當比較容易看出關係式時，選用此法）
例4（11，數1，11分）設為3階實對稱矩陣，的秩為2，且．
（1）求的所有特徵值與特徵向量；（2）求矩陣．
【解】（1）因為的秩為2，故，所以0是的特徵值．
因為，所以是的特徵值．於是的所有特徵值為．
（2）略．
例5（13，數1，11分）設二次型，記．
（1）證明二次型對應的矩陣為；
（2）若正交且均為單位向量，證明在正交變換下的標準形為．
【解】（1）略．
（2）記，由於正交且均為單位向量，則有，．
因為，所以，故0是的特徵值．
因為，故2是的特徵值．
因為，故1是的特徵值．
所以在正交變換下的標準形為．
例6（08，數1，4分）設為2階矩陣，為線性無關的2維列向量，，，則的非零特徵值是
【分析】因，，注意到線性無關，故非零，所以0，1是2階矩陣的全部特徵值，非零特徵值為1．
方法3——利用與的多項式矩陣特徵值之間的關係來求．（當特徵值問題涉及到矩陣多項式時，選用此法）
結論設是乙個多項式，若是階矩陣a的個特徵值，則的多項式矩陣的個特徵值為．當可逆時，的個特徵值為．
例7（98，數4，9分）設向量都是非零向量，且滿足，記．求（1）；（2）的特徵值．
【解】（1）．
（2）設是的任一特徵值，則是的乙個特徵值，因，故，即，由的任意性知，有重特徵值0．
方法4——利用相似矩陣有相同的特徵值來求．（適用於求相似矩陣的特徵值）
例8（03，數1，10分）設矩陣
，求的特徵值．
【解】的特徵多項式為
解特徵方程求得的3個特徵值是1，1，7．
因為，所以的3個特徵值是7，7，1．
因為與相似，故的特徵值為7，7，1，從而的特徵值為9，9，3．
此例綜合運用了方法1、方法3、方法4．
例9 求解例6．
【解】，因線性無關，故可逆，等式兩邊左乘，得，可知與相似，的特徵值為0，1，所以的非零特徵值是1．
方法5——利用特徵值的性質來求．（當已知階矩陣的行列式之值或跡，以及個特徵值時，選用此法）
結論設階矩陣的特徵值為，則有
（1）；
（2）．
例10 已知0，2是矩陣的特徵值，則 ；的第3個特徵值是 ．
【分析】因為0是的特徵值，所以，解得．由特徵值的性質1得，所以的第3個特徵值是．
方法6——利用與的特徵值之間的關係來求．（當求兩個非方陣的乘積的特徵值時，選用此法．特別適用於求列向量與行向量乘積的特徵值）
結論設是矩陣，是矩陣．若，則與有相同的特徵值；若，則除有的全部特徵值外，還有個零特徵值．（證明見附錄）
例11 求解引例、例1．
方法7——利用秩為1的矩陣特徵值的性質
結論若階矩陣的秩為1，則的個特徵值為，．
例12 求例8中矩陣的特徵值．
【解】因，故的特徵值為6，0，0，所以的特徵值為7，1，1．
例13（09，數1，4分）設3維列向量滿足，則矩陣的特徵值為 ．
方法一【分析】由題設及矩陣秩的性質知，且主對角元素之和為2，故的特徵值為2，0，0．
方法二【分析】因為，所以1階矩陣的特徵值為2，於是3階矩陣的特徵值為2，0，0．
例14 設，其中均為維列向量，且，則的特徵值為 ．
【分析】，仿例13得的特徵值為（個0），所以的特徵值為（個2）．
小結：求特徵值的方法
方法1——通過解特徵方程來求．（主要適用於數字型矩陣）
方法2——利用特徵值的定義來求．（當比較容易看出關係式時，選用此法）
方法3——利用與的多項式矩陣特徵值之間的關係來求．（當特徵值問題涉及到矩陣多項式時，選用此法）
方法4——利用相似矩陣有相同的特徵值來求．（適用於求相似矩陣的特徵值）
方法5——利用特徵值的性質來求．（當已知階矩陣的行列式之值或跡，以及個特徵值時，選用此法）
方法6——利用與的特徵值之間的關係來求．（當求兩個非方陣的乘積的特徵值時，選用此法．特別適用於求列向量與行向量乘積的特徵值）
方法7——利用秩為1的矩陣特徵值的性質
附錄結論設是矩陣，是矩陣．若，則與有相同的特徵值；若，則除有的全部特徵值外，還有個零特徵值．
【證明】由
兩邊取行列式，得
（1）同理，由
兩邊取行列式，得
（2）比較（1）、（2）式，得
所以除有的全部特徵值外，還有個零特徵值．
承載力特徵值
8.5 地基容許承載力與承載力特徵值 所有建築物和土工建築物地基基礎設計時，均應滿足地基承載力和變形的要求，對經常受水平荷載作用的高層建築高聳結構 高路堤和擋土牆以及建造在斜坡上或邊坡附近的建築物，尚應驗算地基穩定性。通常地基計算時，首先應限制基底壓力小於等於地基容許承載力或地基承載力特徵值 設計值...
數學實驗特徵值與特徵向量
數學實驗報告 學院 班級 學號 姓名 完成日期 實驗六矩陣的特徵值與特徵向量 問題一一 實驗目的 1.掌握特徵值 特徵向量 特徵方程 矩陣的對角化等概念和理論 2.掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法 3.理解由差分方程xk 1 axk所描述的動力系統的長期行為或演化 4.提高對離散動力系統的理解與分析...
矩陣特徵值實驗報告
一 課題名稱 malab矩陣特徵值 二 目的和意義 1 求矩陣的部分特徵值問題具有重要實際意義，如求矩陣譜半徑 a max 穩定性問題往往歸於求矩陣按模最小特徵值 2 進一步掌握冪法 反冪法及原點平移加速法的程式設計技巧 3 問題中的題 5 反應了利用原點平移的反冪法可求矩陣的任何特徵值及其特徵向量...