數學實驗報告
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實驗六矩陣的特徵值與特徵向量
問題一一．實驗目的
1.掌握特徵值、特徵向量、特徵方程、矩陣的對角化等概念和理論；
2.掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法；
3.理解由差分方程xk+1 = axk所描述的動力系統的長期行為或演化；
4.提高對離散動力系統的理解與分析能力.
二．問題描述
當捕食者-**食者問題中的捕食引數p是0.125時，是確定該動態系統的演化（給出xk的計算公式）。貓頭鷹和森林樹的數量隨著時間如何變化?
該系統去向一種被稱為不穩定平衡的狀態。如果該系統的某個方面（例如出生率或者捕食率）有輕微變動，系統會如何變化？
三．問題分析
將線性變換xaxk的作用分解為易於理解的成分，其中特徵值與特徵向量是分析離散動態系統的關鍵。
根據已知資訊，找到系統對應的差分方程xk+1 = axk，求出a的特徵值和對應的特徵向量，再根據不同特徵值的個數、絕對值大於1還是小於1、是實特徵值還是複數特徵值等情形，分析出系統的演化過程。
四．實驗過程
問題對應的差分方程為xk+1 = axk，其中a= 0.5 0.4
0.125 1.1 ，演化過程求解如下：
第一步：求a的特徵值和對應的特徵向量。利用如下的**即可獲得：
a=[0.5 0.4;-0.125 1.1];
[pc,lambda]=eig(a);
[y,i]=sort(diag(abs(lambda)),'descend');
temp=diag(lambda);
lambda=temp(i)
pc=pc(:,i)
執行程式可得a的特徵值為lambda =
1.0000
0.6000
a 的特徵向量pc =
-0.6247 -0.9701
-0.7809 -0.2425
顯然，這兩個特徵向量（即pc的第一列和第二列）是線性無關的，它們構成r2的一組基，為消除小數，選取
v1=4 v2= 4 p= 4 4 p﹣1ap= 1.00 0
515 10 0.60
第二步：v1用和v2表示x0和xk,k=1,2….因為是r2的一組基，所以存在係數c1和c2,使得
x0= c1 v1+ c2 v2.
因為v1，v2為矩陣a對應於λ=1.0，u=0.6的特徵向量，所以**1=λv1，a v2=λv2，於是
x1=ax0=a(c1 v1+ c2 v2)= c1λv1+ c2uv2.
x2=ax1=a(c1λv1+ c2λv2)= c1λ2v1+ c2u2v2.
一般地，
xk= c1λkv1+ c2ukv2.
= c1(1.0)k 4 +c2(0.6)k 4 k=0,1,2,3….
51當k趨近於無窮大時，0.6^k 趨近於0，假定c1>0,則對於所有足夠大的k，xk近似地等於c1(1.0)k v1，寫為
xk≈c1(1.0)k 4
5k越大，近似程度越高，所以對於足夠大的k，
xk+1≈c1(1.0)k+1 4
5=xk
可知貓頭鷹和老鼠的數量幾乎每月都相當,而且xk約為4
5 的倍數，所以每4只貓頭鷹對應著5000只老鼠。
第三步：解的影象表示，見圖8-1，其中綠色圓圈代表初始點x0，紅色圓點代表迭代序列，箭頭代表迭代方向，藍色直線代表特徵向量v1，v2所在的直線。在圖8-1中，圓點為鞍點，排斥最快的方向為過圓點和特徵向量v1的直線方向。
其中v1對應的特徵值得絕對值為1.如果x0在這條直線上，則表示c2等於0，且xk始終在原點。吸引最快的方向由特徵向量v2決定，其對應的特徵值的絕對值大於1.
相應的**如下：
% p8_
% 捕食者-**食者解的影象表示
clear,clc
a=-20*100;b=-a;c=a;d=b;p=0.1;
n=100;
xlabel('|\lambda|=1,|u|<1')
axis([a b c d]),grid on,hold on
x=linspace(a,b,30);
a=[0.5 0.4;-0.125 1.1];
[pc,lambda]=eig(a);
[y,i]=sort(diag(abs(lambda)),'descend');
temp=diag(lambda);
lambda=temp(i)
pc=pc(:,i)
pc=-pc;
z1=pc(2,1)/pc(1,1)*x;
z2=pc(2,2)/pc(1,2)*x;
h=plot(x,z1),set(h,'linewidth',2),text(x(7),z1(7)-100,'v1')
h=plot(x,z2),set(h,'linewidth',2),text(x(20),z2(20)-100,'v2')
button=1;
while button==1
[xi,yi,button]=ginput(1);
plot(xi,yi,'go'),hold on
x0=[xi;yi];
x=x0;
for i=1:n
x=[a*x,x0];
h=plot(x(1,1),x(2,1),'r',x(1,1:2),x(2,1:2),'r-');
hold on
text(x0(1,1),x0(2,1),'x0')
quiver([x(1,2),1]',[x(2,2),1]',[x(1,1)-x(1,2),0]', [x(2,1)-x(2,2),0]',p)
set(h,'markersize',6),grid,
endend
五．結論與分析
因為當k趨近於無窮大時，0.6^k 趨近於0，所以取1.可知貓頭鷹和老鼠的數量幾乎每月都相當。
系統趨向於不穩定平衡的狀態。當出生率下降或者捕食率增大，或者相反的情況，該平衡狀態就會被打破。直到重新平衡或者系統完全崩潰。
問題二一．實驗目的
1.掌握特徵值、特徵向量、特徵方程、矩陣的對角化等概念和理論；
2.掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法；
3.理解由差分方程xk+1 = axk所描述的動力系統的長期行為或演化；
4.提高對離散動力系統的理解與分析能力.
二．問題描述
在美國的黃杉森林中，班頭貓頭鷹主要以鼴鼠為食。假設這兩個種群的捕食率-**食率矩陣為a=[0.4 0.3;-p 1.2]
（1）證明：如果捕食引數p=0.325，則兩個種群都會增長。估計長期的增長率及貓頭鷹與鼴鼠的最終比值。
（2）證明：如果捕食率p=0.5，則貓頭鷹和鼴鼠都將滅絕。
（3）試求乙個p值，使得貓頭鷹和鼴鼠的數量趨於穩定。此時，對應的種群數量是多少？
三．問題分析
將線性變換x axk的作用分解為易於理解的成分，其中特徵值與特徵向量是分析離散動態系統的關鍵。
根據已知資訊，找到系統對應的差分方程xk+1 = axk，求出a的特徵值和對應的特徵向量，再根據不同特徵值的個數、絕對值大於1還是小於1、是實特徵值還是複數特徵值等情形，分析出系統的演化過程。
四．實驗過程
問題對應的差分方程為xk+1 = axk，其中a= 0.4 0.3
-p 1.2，演化過程求解如下：
(1)當p=0.325時，類似問題一的結決方案，可求出a 的特徵向量與特徵值，**如下：
a = [0.4 0.3;-0.325 1.2];
[pc,lambda] = eig(a);
[y,i] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');
temp = diag(lambda);
lambda = temp(i)
pc = pc(:,i)
執行程式可得a的特徵值為
lambda =
1.0500
0.5500
a 的特徵向量pc =
-0.4191 -0.8944
-0.9080 -0.4472
將小數乘以相應倍數變成整數
v1= 5 v2= 2 p= 5 2p﹣1ap=1.05 0
1111110 0.55
由此可知，當k趨近於無窮大時，0.55^k 趨近於0.所以a的特徵值取1.
05.即貓頭鷹和老鼠的數量幾乎每個月都近似增加到原來的1.05 倍，即有5%的增長率.
所以xk約為（5 11），即每5只貓頭鷹對應著6500只老鼠。最終比值為1300.
（2）當p=0.5時，類似問題一的解決方案，可求出a 的特徵向量與特徵值，**如下：
a = [0.4 0.3;-0.5 1.2];
[pc,lambda] = eig(a);
[y,i] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');
temp = diag(lambda);
lambda = temp(i)pc = pc(:,i)
執行程式可得a的特徵值為
lambda =
0.9000
0.7000
a 的特徵向量
pc =
-0.5145 -0.7071
-0.8575 -0.7071
將小數乘以相應倍數變成整數
v1= 5 v2= 1 p= 5 3p﹣1ap=0.9 0
3 11 10 0.7
因為所有的特徵值得絕對值都小於1，所以當k趨近於無窮大時，xk趨近於零。所以這個模型預示著斑點貓頭鷹最終將會滅絕。
（3）採用試值法取p=0.4. 可求出a 的特徵向量與特徵值如下：
a = [0.4 0.3;-0.4 1.2];
[pc,lambda] = eig(a);
[y,i] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');
temp = diag(lambda);
lambda = temp(i)
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