一、課題名稱
malab矩陣特徵值
二、目的和意義
1、求矩陣的部分特徵值問題具有重要實際意義，如求矩陣譜半徑()aρ=maxλ，
穩定性問題往往歸於求矩陣按模最小特徵值；
2、進一步掌握冪法、反冪法及原點平移加速法的程式設計技巧；
3、問題中的題（5），反應了利用原點平移的反冪法可求矩陣的任何特徵值及其特徵向量。
三、實驗要求
1、掌握冪法或反冪法求矩陣部分特徵值的演算法與程式設計；
2、會用原點平移法改進演算法，加速收斂；對矩陣b=a-pi取不同的p值，試求其效果；
3、試取不同的初始向量，觀察對結果的影響； ()0υ
4、對矩陣特徵值的其它分布，如如何計算。
四、問題描述
五、實驗程式設計
冪法function [lamdba,v]=power_menthod(a,x,epsilon,maxl)
k=0;
y=a*x;
while(k y=y/max(abs(y));
y=a*x;
m=max(abs(y));
x=y/m;
k=k+1;
if abs(y-m) break;
endendlambda=m
v=x方程組1結果
>> a=[-1 2 1;2 -4 1;1 1 -6];
>> x=[1 1 1]';
>> epsilon=0.00005;
>> maxl=20;
>> power_menthod(a,x,epsilon,maxl)
lambda =
6.4183
v = -0.0484
-0.3706
1.0000
方程組2結果
>> a=[4 -2 7 3 -1 8;-2 5 1 1 4 7;7 1 7 2 3 5;3 1 2 6 5 1;-1 4 3 5 3 2;8 7 5 1 2 4];
>> x=[1 0 1 0 0 1]';
>> epsilon=0.00005;
>> maxl=20;
>> power_menthod(a,x,epsilon,maxl)
lambda =
21.3053
v = 0.8724
0.5401
0.9974
0.5644
0.4972
1.0000
反冪法function [lambda,v]=inv_shift(a,x,epsilon,max1)
for i=1:max1
y=x/max(abs(x))
x=a\y
endv=y;
lambda=1/max(abs(x));
function [lambda,v]=inv_shift1(a,x,epsilon,max1)
for i=1:max1
y=x/max(abs(x));
x=lu1(a,y,3)
endv=y;
lambda=1/max(abs(x));
方程組1結果
>> a=[-1 2 1;2 -4 1;1 1 -6];
>> x=[1 1 1]';
>> epsilon=0.00005;
>> max1=20;
>> [lambda,v]=inv_shift(a,x,epsilon,max1)
lambda =
0.2880
v = 1.0000
0.5229
0.2422
方程組2結果
>> a=[4 -2 7 3 -1 8;-2 5 1 1 4 7;7 1 7 2 3 5;3 1 2 6 5 1;-1 4 3 5 3 2;8 7 5 1 2 4];
>> x=[1 0 1 0 0 1]';
>> epsilon=0.00005;
>> max1=20;
>> [lambda,v]=inv_shift(a,x,epsilon,max1
lambda =
1.6214
v = -0.4824
-0.0702
1.0000
-0.6005
0.5211
-0.4588
六、實驗結果分析
1. 冪法
冪法是一種計算矩陣主特徵值(矩陣按模最大的特徵值)及對應特徵向量的迭代方法, 特別是用於大型稀疏矩陣。
設實矩陣a=[aij]n×n有乙個完全的特徵向量組，其特徵值為λ1 ，λ2 ,…,λn,相應的特徵向量為x1 ,x2 ,…,xn.已知a的主特徵值是實根，且滿足條件
1 |>|λ2 |≥|λ3 |≥…≥|λn |, (2.1)
冪法的基本思想是任取乙個非零的初始向量ν0,由矩陣a構造一向量序列
稱為迭代向量。
2. ν0 =α1 x1 +α2 x2 + … +αn xn (α≠0 ), (2.3)
於是其中2.4)
由假設從而
這說明序列νk /λ1k 越來越接近a的對應於λ1 的特徵向量, 或者說當k充分大時
故即兩相鄰迭代向量分量的比值收斂到主特徵值。
2、 反冪法
反冪法用來計算矩陣按模最小的特徵值及其特徵向量，也可用來計算對應與乙個給定近似特徵值的特徵向量。
設a∈rn×n 為非奇異矩陣，a的特徵值依次記為
1 |≥|λ2 |≥|λ3 |≥…≥|λn |,
相應的特徵向量為x1 ,x2 ,…,xn , 則a-1 的特徵值為
|1/λn |≥|1/λn-1 |≥…≥|1/λ1 | ,
相應的特徵向量為xn ,x n-1 ,…,x1 . 所以計算a的按模最小的特徵值λn的問題就是計算a-1 的按模最大的特徵值問題。
對於a-1應用冪法迭代(稱為反冪法)，可求得矩陣a-1的主特徵值1/λn ，從而求得a的按模最小的特徵值λ
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