（2008浙江）（22）（本題14分）
已知數列，，，．記．．
求證：當時，
（ⅰ）證明：用數學歸納法證明．
①當時，因為是方程的正根，所以．
②假設當時，，
因為所以．
即當時，也成立．
根據①和②，可知對任何都成立．
（ⅱ）證明：由，（），
得．因為，所以．
由及得，
所以．（ⅲ）證明：由，得
所以，於是，
故當時，，
又因為，
所以．（2006全國卷一）（22）、（本小題滿分12分）
設數列的前項的和，
（ⅰ）求首項與通項；
（ⅱ）設，，證明：
.解: (ⅰ)由 sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，… , ① 得 a1=s1= a1－×4+ 所以a1=2.
再由①有 sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,…
將①和②相減得: an=sn－sn－1= (an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3, …
整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , 因而數列是首項為a1+2=4,公比為4的等比數列,即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …,
(ⅱ)將an=4n－2n代入①得 sn=×(4n－2n)－×2n+1 + =×(2n+1－1)(2n+1－2)
=×(2n+1－1)(2n－1)
tn= =×=×(－)
所以<21.在數列中, ,且成等差數列,成等比數列.
⑴求及,由此猜測的通項公式,並證明你的結論;
⑵證明:.
解：（ⅰ）由條件得
由此可得． 2分
猜測． 4分
用數學歸納法證明：
①當n=1時，由上可得結論成立．
②假設當n=k時，結論成立，即
，那麼當n=k+1時，
．所以當n=k+1時，結論也成立．
由①②，可知對一切正整數都成立． 7分
（ⅱ）．
n≥2時，由（ⅰ）知． 9分
故綜上，原不等式成立． 12分
（2009四川）22. （本小題滿分14分）
設數列的前項和為，對任意的正整數，都有成立，記。
（）求數列的通項公式；
（）記，設數列的前項和為，求證：對任意正整數都有；
（）設數列的前項和為。已知正實數滿足：對任意正整數恆成立，求的最小值。
本小題主要考查數列、不等式等基礎知識、考查化歸思想、分類整合思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力。
解：（ⅰ）當時，
又數列成等比數列，其首項，公比是
3分（ⅱ）由（ⅰ）知
= 又當
當（ⅲ）由（ⅰ）知
一方面，已知恆成立，取n為大於1的奇數時，設
則>對一切大於1的奇數n恆成立
只對滿足的正奇數n成立，矛盾。
另一方面，當時，對一切的正整數n都有
事實上，對任意的正整數k，有
當n為偶數時，設
則 <
當n為奇數時，設
則<對一切的正整數n，都有
綜上所述，正實數的最小值為414分
祝高二（2）班的每一位同學快樂成長，幸福生活，考上理想的大學，加油！！！
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