一、例6：設， ，則
和答案：；
例7：已知函式的資料如表中第1，2列。計算它的各階差商和的形式，並估計相對於其誤差。
解：依據差商計算公式，結果列表中。
計算公式為：
一階差商
二階差商
由於形式未知，顯然不能通過餘項定理來估計誤差，可採用牛頓插值的餘項形式來估計：
插值點，（假設四階差商變化不大）
從而有誤差估計：
例8：已知函式y=f(x)的觀察資料為
試構造f(x)的拉格朗日多項式pn (x)，並計算f(－1)。
解：先構造基函式
所求三次多項式為
p3(x)=
＝＋－＋
p3(－1)＝
例9：設，試證
解：由於的線性插值
（直線的點斜式）
於是（）例10：在上給出的等距節點函式表，若有二次插值求的近似值，要使誤差不超過，使用函式表的步長應取多少？
解： 設插值節點為
令因（*）
於是由得注：（關於*式計算）：
令由，即，得的駐點為，故
例11：若是的次多項式，試證是的次多項式。
證明：由差商定義有：
即上式右端是的次多項式，而當時，上式為
，說明這個次多項式中含有因式。在等式兩端同除以得
則上式右端是的次多項式，所以是的次多項式
五、例1 試確定求積公式的代數精度。
解：當取計算求積公式何時精確成立。
(1) 取，有：左邊＝， 右邊＝2
(2) 取，有：左邊＝， 右邊＝0
(3)類似匯出，取，有左邊=右邊
(5) 取，有：左邊=2/5， 右邊=2/9
當k3求積公式精確成立，而x4公式不成立，可見該求積公式具有3次代數精度。
例2：. 證明求積公式具有三次代數精度，其中是正常數。
證明：（1）當時，左邊右邊
（2）當時，左邊右邊
（3）當時，左邊右邊
（4）當時，左邊右邊
（5）當時，左邊，
右邊所以，該求積公式具有三次代數精度
例3、求積公式，已知其餘項表示式為.試確定係數及，使該求積公式具有盡可能高的代數精度，並給出代數精度的次數及求積公式餘項.
解本題雖用到的值，但仍可用代數精度定義確定引數.令，分別代入求積公式.令公式兩端相等，則
當, 當,
當, 解得，
於是有再令，此時，而上式右端為，兩端不等，則求積公式對不精確成立，故它的代數精度為二次.
為求餘項可將代入求積公式
， 當,，,，代入上式得
，即所以餘項.
例4：試用梯形公式、和simpson公式計算定積分
計算結果取5位有效數字)
(1)用梯形公式計算
(2)如果要求精確到10－5，用復化simpson公式，截斷誤差為
n2 只需把[0.5，1]4等分，分點為0.5，0.625，0.75，0.875，1
例5：.已知n=3時，cotes係數，那麼＝
解答：由cotes係數的歸一性質，
例6：對於個節點的插值求積公式至少具有＿＿次代數精度。
解答：答案為
例8：試證：
證明：六八、例1 用順序消去法解線性方程組
解：順序消元
於是有同解方程組：
回代得解： x3=－1， x2=1，x1=1。原線性方程組的解為x＝(1，1，－1)t。
例2：設為階非奇異矩陣，且有三角分解，其中為單位下三解陣，為上三角陣，求證：的所有順序主子式均不為零。
分析：因為要證的所有順序主子式均不為零，故把按分塊的形式寫出比較好，再由的非奇異性即可推證。
證明：設
將按分塊形式寫出則有：
從而由矩陣的分塊乘法有：
因為非奇異，故：
從而，即非奇異，的所有順序主子式均不為零。
例3：取初始向量x(0)=(0，0，0)t，用雅可比迭代法求解線性方程組
解：建立迭代公式
k=1，2，3，…)
第1次迭代，k=0， x(0)＝0，得到x(1)＝(1，3，5)t，
第2次迭代，k=1，
得到 x(2)＝(5，－3，－3)t
第3次迭代，k=2，
得到x(3)＝(1，1，1)t
第4次迭代，k=3，
得到x(4)＝(1，1，1)t
例4：用高斯列主元消去法解線性方程組
作第1次消元後的第2，3個方程分別為
解答選a21=2為主元，作行互換，第1個方程變為：2x1+2x2+3x3=3，消元得到
是應填寫的內容。
例5：用高斯－賽德爾迭代法解線性方程組的迭代格式中＝
k=0，1，2，…)
解答高斯－賽德爾迭代法就是充分利用已經得到的結果，求x2的值時應該用x1的新值。答案是：，
例6：已知方程組
（1） 證明高斯－塞德爾法收斂；
（2） 寫出高斯－塞德爾法迭代公式；
（3） 取初始值，求出。
解：（1）因為
塞德爾迭代矩陣的普半徑小於1，所以高斯－塞德爾迭代法收斂。
（2）高斯－塞德爾法迭代公式為：
（3）取初值，計算得，，
例7：用緊湊格式對矩陣進行的三角分解，則＝（ ）
a．1 b． c．–1d．–2
答案：(a)
例8：，證明是的範數
證明：（正定性），，至少，從而，則
（奇次性），，則
（三角不等式），，綜上得證。
例9答案：，
例10：，則a的譜半徑
答案：例11：討論用jacobi法和gauss-seidel方法解方程組時的收斂性，如果收斂，並比較哪種方法收斂較快，其中
解：易求出，因此兩種方法均收斂，因，故g-s法收斂速度較快。
例12：設，試求jacobi及g-s法迭代矩陣
解：解法1（矩陣運算）：，
解法2（定義匯出）：
jacobi迭代法為：，即
從而，其中
g-s迭代法為：，注意此迭代式中右端仍含有上標為的分量，不滿足形式（右端不含任何），故不直接整理出，可將第1式代入第2、3式從而消去2、3式中的，再將第2式代入式3，消去式3中的，得等價迭代公式：，即，其中
計算方法例題分析
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