1. 不等式：表示不等關係的式子．
2. 不等式的基本性質：
性質1：不等式兩邊都加上（或減去）同乙個數或同乙個整式，不等號的方向不變．
性質2：不等式兩邊都乘以（或除以）同乙個正數，不等號的方向不變．
性質3：不等式兩邊都乘以（或除以）同乙個負數，不等號的方向改變．
3. 不等式的解集：能使不等式成立的未知數的值，叫做這個不等式的解．不等式的所有解的集合，叫做這個不等式的解集．求不等式解集的過程，叫做解不等式．
4. 一元一次不等式及其解法
可化為只含有乙個未知數，並且未知數的次數是，係數不等於的不等式，叫做一元一次不等式．它的標準形式是或（）．
解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程的步驟相類似，但一定要注意，當不等式兩邊都乘以（或除以）同乙個負數時，不等號必須改變．
5. 一元一次不等式組及其解集
含有相同未知數的幾個一元一次不等式所組成的不等式組，叫做一元一次不等式組．所有這些一元一次不等式組的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集．
6. 一元一次不等式組的解法
⑴求出這個不等式組中各個不等式的解集；⑵利用數軸確定這個不等式組的解集．
填空：1. 如果，那麼
2. （2008無錫）不等式的解集是（ ）
a． b． c． d．
3. （2023年上海市）不等式的解集是
4. （2023年雲南省）不等式組的解集是（ ）
a． b． c． d
1【解析】 ，，；c；；d．
【例 1】 ⑴ （2007山東臨沂）如果，則下列不等式：
①②③④中，正確的有（ ）．
a．個 b．個 c．個 d．個
⑵ （2023年義烏市）不等式組的解集在數軸上表示為（ ）．
⑶（2023年江西南昌中考題）已知不等式：①，②，③，④，從這四個不
等式中取兩個，構成正整數解是的不等式組是（ ）．
a． ①與② b． ②與③ c．③與④ d． ①與④
2【解析】 ⑴b．⑵c．⑶d．
點評：本題可以利用數軸不等式組的解集也可以利用找不等式組解集的口訣．
【變式1】 用數軸表示下列不等式：⑴． ⑵．
3【解析】 ⑴ 如圖，．⑵如圖，．
【變式2】 看數軸寫出不等式組
4【解析】
【例 2】 解關於的不等式．
5【解析】 原不等式化簡得，當即時，．
當時，原不等式無解．當時，．
【變式3】 關於的不等式．
6【解析】 對於關於的不等式，的係數含有字母分類討論：
⑴時，解集為．⑵時，解集為．⑶時，若，則解集包含所有數，若，則這個不等式無解．對於不等式，，有類似的結論嗎？
從而原不等式化為，⑴，即時，解集為．⑵，即時，解集為．⑶，即時，又分為兩種情況．若，即，解集為所有數．若，即，原不等式無解．
【例 3】 解不等式⑴．⑵．⑶．
7【解析】 ⑴ 法一：應用絕對值的幾何意義：或．
法二：零點分類討論：①即．②即．綜上得，或．
⑵ 法一：應用絕對值的幾何意義：．
法二：零點分類討論：①即．②即．綜上得，．
【變式4】 解不等式：⑴．⑵．
8【解析】 ⑴ 零點分類討論：①，即．②，∴，即，綜上
得，或．
⑵ 零點分類討論：①即．②即．綜上得，
或．⑶，，，∴或，解得．
【變式5】 用不等號填空
9【解析】 ⑴表示到的距離，表示到的距離，由數軸的幾何意義可知，
．⑵ ∵，∴．
⑶ 把，看成常數，．
點評：⑴或． ⑵或．
⑶或． ⑷或．
⑸或． ⑹或．
⑺或． ⑻或．
【例 4】 （上海中學生業餘數學學校招生）關於的不等式組有解，則實數的取值範圍
是10【解析】 ①若，顯然不等式組有解．②若，則有解，則，，，，∴．綜合上述得，．
【變式6】 （2023年山東泰安）已知關於的不等式組有解，則實數的範圍是
11【解析】 不等式組解得不等式組要有解，則，即．
點評：①對於，解集；②對於，解集；③對於，解集；④對於，解集為空集．
【變式7】 已知關於的不等式組無解，則的取值範圍是
12【解析】 當時，不等式組無解，（大於大的，小於小的無解），∴．
【變式8】 已知關於的不等式組無解，則的取值範圍是
13【解析】 解不等式組得，當時，不等式組無解，（大於大的，小於小的無解），∴．
【例 5】 ⑴ 已知關於的不等式的解集為，求的值．
⑵ 已知關於的不等式組的解集為，求的取值範圍．
14【解析】 ⑴ 由題意所以．解集一樣要滿足兩點，首先符號一樣，其次「界點」一樣．
⑵ 解不等式組得由同大取大，，∴．
【變式9】 已知關於的不等式的解是，解不等式．
15【解析】 ∵的解為，可得，且，∴，解得，∴，即．∴不等式的解集為．
【變式10】 若不等式的解集為，則不等式的解集
為16【解析】 ∵不等式的解集為，∴，且，∴，代入所求不等式解得．
【例 6】 ⑴ （2023年聊城市）關於的不等式組的整數解共有個，則的取值範圍是 ．
⑵ 關於的不等式組有多少個整數解？
17【解析】 ⑴ 不等式組可化為有三個整數解只能是，，，∴．
點評：此類題一般先要把解集表示出來，通過畫數軸判斷「界點」在哪兩個整數之間，檢驗能否取得「界點」．
⑵ 解不等式組得當為整數時，有兩個整數解；當為小數時，有三個整數。
【變式11】 已知不等式的乙個解，求的範圍．
18【解析】 解得，∴，即．
【變式12】 （2023年江蘇江陰市自主招生試題）關於的不等式組只有個整數解，則的
取值範圍是（ ）．
a． b． c． d．
19【解析】 不等式組可化得∴這四個整數只能是，，，，故，
即．【例 7】 如圖，要使輸出值大於，則輸入的最小正整數是 ．
20【解析】 當時，則，解得，即．要為偶數且最小整數故．
當時，則，解得，即，要為奇數且最小整數故．綜上所述可得最小的正整數為．
【變式13】 （2023年浙江義烏中考題）按下面的程式計算，若開始輸入的值為
正數，最後輸出的結果為，則滿足條件的不同的值最多有（ ）．
a．個 b．個 c．個 d．個
21【解析】 ，，，，
，∴只有，，，符合題意，故選c．
【例 8】 ⑴（2023年永州）某物流公司，要將噸物資運往某地，現有、兩種型號的車可供呼叫，
已知型車每輛可裝噸，型車每輛可裝噸，在每輛車不超載的條件下，把噸物資裝運完，問：在已確定呼叫輛型車的前提下至少還需呼叫型車多少輛？
⑵ 小強和小林共下了盤棋，小強勝一盤記分，小林勝一盤記分．當他倆下完第盤後，小
強的得分高於小林；下完第盤後，小林的得分高過小強．小強勝盤，小林勝盤？
⑶ 某人到花店買花．他只有元，打算買支玫瑰和支百合．發現錢不夠，只買了支玫瑰
和支百合．這樣他還剩了元多錢．請你算一算，支玫瑰和支百合哪個**高？
22【解析】 ⑴ 設至少還需要型車輛，依題意得
解得，∴．
⑵設下完第盤時，小強勝了盤，而第盤一定是小林勝．依題意得
，解得．所以小強勝盤，小林勝盤．
⑶ 設一支玫瑰元，支百合元，則即，∴，，同
理∴，，於是．故支玫瑰的**高於支百合．
【變式14】 （2023年廣東中考題）某博物館的門票每張元，一次購買張到張門票按折優惠，一次
購買張以上（含張）門票按折優惠．甲班有名學生，乙班有名學生．
⑴ 若兩班學生一起前往該博物館參觀，請問購買門票最少共需花費多少元？
⑵ 當兩班實際前往該博物館參觀的總人數多於人且不足人時，至少要有多少人，才能使
得按折優惠購買張門票比根據實際人數按折優惠購買門票更便宜．
23【解析】 ⑴ 當兩班分別購買門票時，甲班購買門票的費用為（元）；乙班購買門票的費
用為（元），甲、乙兩班分別購買門票共需花費元．當兩個班一起購買門票時，甲、乙兩班共需花費（元）．
⑵ 當多於人且不足人時，設有人前往參觀，才能使得按折優惠購買張門票比根據
實際人數按折優惠購買門票更便宜，根據題意得
解得．答：當多於人且不足時，至少有人前往參觀，才能使得按折優惠購買張門票比根據實際人數按折優惠購買門票更便宜．
習題1. ⑴ 小林準備用元錢買筆和筆記本．已知每支筆元，每本筆記本元，他買了本筆記本，
則他最多還可以買（ ）支筆．
a． b． c． d．
⑵ （2023年涼山州）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（ ）
24【解析】 ⑴ 設買了支筆，則，，故選d．⑵c．
習題2. ⑴（2023年南寧市）解不等式組：並把它的解集在數軸上表示出來．
⑵ 解不等式（組）：①．②．
25【解析】 ⑴ 解不等式組可得同小取小，解集為，在數軸上表示如圖．
⑵ ①零點分類討論：或即或．
②，即，∴或，∴．
習題3. ⑴ 已知關於的不等式的解集為，求的值．
⑵ 已知關於的不等式組的解集為，求的取值範圍．
26【解析】 ⑴ 不等式可化得，∴∴．
⑵ 由題意得，即．
習題4. 已知關於的不等式的最大正整數解為，求的範圍．
27【解析】 不等式的解集為，要為最大整數解，則．∴．
習題5. 關於的不等式組只有個整數解，求的取值範圍．
28【解析】 不等式組可化得∴這兩整數只能是，，故，
即．習題6. （2023年樂山中考題）已知乙個矩形的相鄰兩邊長分別為厘公尺和厘公尺，若它的周長小於
厘公尺，面積大於平方厘公尺，則的取值範圍是
29【解析】 ⑴ 依題意得
，解得．
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