第9章教學方案
——彎曲變形
9.1 彎曲變形概述
9.1.1彎曲變形問題的工程例項
彎曲變形：當桿件受彎時，桿件的軸線由直線變成曲線，稱為彎曲變形。
限制彎曲變形的工程例項：在工程實際中，為保證受彎構件的正常工作，除了要求構件有足夠的強度外，在某些情況下，還要求其彎曲變形不能過大，即具有足夠的剛度。例如，軋鋼機在軋制鋼板時，軋輥的彎曲變形將造成鋼板沿寬度方向的厚度不均勻（圖9.
1）；齒輪軸若彎曲變形過大，將使齒輪嚙合狀況變差，引起偏磨和雜訊（圖9.2）。
利用彎曲變形的工程例項：例如，汽車輪軸上的疊板彈簧（圖9.3），就是利用彎曲變形起到緩衝和減振的作用的。此外，在求解靜不定梁時，也需考慮梁的變形。
9.1.2 梁的位移的度量——撓度和轉角
在載荷作用下樑將發生平面彎曲，其軸線由直線變為一條連續光滑的平面曲線，該曲線稱為撓曲線（圖9.4）。以梁的最左端o點為原點建立座標系oxy，撓曲線上任一點x處的縱座標w是梁x橫截面的形心沿y方向的線位移，稱為撓度。
為了表示清楚位移的方向，規定向上的撓度w為正，向下的撓度w為負。這樣，撓曲線方程可以寫為
9-1）
在小變形情況下，梁的撓度遠小於梁的跨度l，因此可以忽略截面形心沿軸線方向的位移。
彎曲變形時，橫截面繞中性軸發生轉動，其轉過的角度θ稱為轉角。轉角θ就是撓曲線法線與y軸的夾角。為了表示轉角的轉向，規定逆時針為正，順時針為負。轉角可以用轉角方程表示
9-2）
9.1.3 撓度和轉角的關係
彎曲變形用撓度w和轉角θ這兩個位移量來度量。由圖9.4可以看出，轉角θ與撓曲線在該點的切線傾角相等。在小變形情況下
9-3）
即橫截面的轉角可以用該點處撓曲線切線的斜率表示。只要知道撓曲線方程，就能確定梁上任一橫截面的撓度和轉角。
9.1.4 梁的剛度條件
在工程實際中，為了保證彎曲桿件的正常工作，有時會限定梁的最大撓度和最大轉角，得到剛度條件
9-4）
式中，[f]和[θ]分別為許用撓度和許用轉角。
9.2 撓曲線微分方程及其積分
9.2.1 撓曲線微分方程
在純彎曲時，撓曲線曲率1/ρ與彎矩m的關係為式（8-1），即
在橫力彎曲時，如果是細長梁，剪力對變形的影響可以忽略，上式仍然成立，但曲率和彎矩都是x的函式，即
a）由高等數學可知，曲線上任一點的曲率為
b）由於撓度非常小，撓曲線極平坦，的數值很小，上式中與1相比可以略去，於是由（a）、（b）兩式得到
c）根據彎矩的符號規定和撓曲線二階導數與曲率中心方位的關係，在所取座標系下彎矩m的正負號始終與的正負號一致，如圖9.5所示。因此（c）式的左邊應取正號，即
9-5）
式(9-5)即為梁的撓曲線微分方程。
9.2.2 撓曲線微分方程的積分
對式(9-5)積分一次，得轉角方程
9-6a）
再積分—次．可得撓曲線方程
9-6b）
式中c、d為積分常數。當梁為等截面梁時，ei為常數，可以提到積分符號外面。如果梁的彎矩方程是分段函式，則上面的積分式也應分段積分。
9.2.3 積分常數的確定
積分常數c和d可以通過梁上某些位置的已知撓度和轉角或應滿足的變形關係來確定。
支承條件：支座處的撓度或轉角是已知的。例如鉸支座處的撓度為零，則在圖9.
6（a）中，在x=0和x=l處，wa=wb=0；又如固定端約束處的撓度和轉角均為零，則在圖9.6（b）中，在x=0處，wa=0、θa=0。只要將這些資料代入式（9-6）中就可確定c和d。
連續光滑條件：因為撓曲線是一條連續光滑的曲線，所以在梁的積分分段點處，通過左右兩段彎矩方程積分算出的撓度和轉角是相等的。例如圖9.
7所示梁在集中力f作用點a處，有連續光滑條件為wa左=wa右和θa左=θa右。
9.2.4 用積分法求梁的位移
對（9-5）式進行積分，並根據約束條件和連續光滑條件確定積分常數，再將已確定的積分常數代回積分式，即可得到梁的撓曲線方程和轉角方程，從而可確定任一截面的撓度及轉角。這種求梁的位移的方法稱為積分法。
在工程計算中，習慣用f表示梁特定截面處的撓度。
【例9-1】簡支梁ab受均布載荷q作用，如圖9.8所示。建立梁的撓曲線方程和轉角方程，並計算最大撓度和最大轉角。
解：（1）計算支反力，列彎矩方程和撓曲線微分方程
通過平衡方程可得
彎矩方程為
故撓曲線微分方程為
（2）對撓曲線微分方程積分
將上式積分兩次，得
和（3）確定積分常數
將約束條件x=0處w=0和x=l處w=0代入上式中，可得
d=0，和
（4）建立撓曲線方程和轉角方程
將c、d值代入積分式，分別得到撓曲線方程和轉角方程
（5）計算最大撓度和最大轉角
全梁上的彎矩都為正，所以梁的撓曲線是一條上凹的曲線，又根據結構和載荷的對稱性，可畫出撓曲線的大致形狀如圖9.8中所示。在樑中點處有最大撓度，在梁的支座a、b處有最大轉角。
將相應的x座標代入撓曲線方程和轉角方程中，得
負號表示其變形方向與規定的正向相反。
【例9-2】圖9.9所示簡支梁在c點作用一集中力f，梁的抗彎剛度為ei，求梁的撓曲線方程和轉角方程。
解：（1）計算支反力，列彎矩方程
通過平衡方程可得
分段列彎矩方程
ac段cb段（2）分段列撓曲線微分方程並積分
分別列ac和cd段的撓曲線微分方程，並兩次積分，結果見下表。
（3）確定積分常數
積分出現4個常數，需4個條件來確定。因為撓曲線是連續光滑的曲線，在兩段交介面c處，由（a1）式確定的轉角和由（a2）式確定的轉角相等；由（b1）式確定的撓度和由（b2）確定的撓度相等。即
由此可得： c1=c2， d1=d2
在梁的a、b兩端有鉸支座，根據約束條件有
當x1=0時， eiw=d1=0
當x2=l時，
可得（4）建立撓曲線方程和轉角方程
將4個積分常數代回（a1）、（a2）和（b1）、（b2）式，分別得到轉角方程和撓曲線方程，見下表。
如果要求梁上的最大撓度和最大轉角，可以首先根據撓曲線的大致形狀判斷最大值出現的截面位置。最大轉角出現在兩端截面上，在（c1）式和（c2）式中分別代入x1=0和x2=l，得
若a＞b，可以斷定θb為最大轉角。
最大撓度可以用求極值的方法計算。可以證明，梁的最大撓度所在位置非常接近於梁的中點，因此常用簡支樑中點的撓度來代替梁的最大撓度。則有
積分法是求梁的變形的基本方法，它可以直接運用積分求得梁的撓曲線方程和轉角方程，進而求出特定截面的撓度或轉角。
9.3 用疊加法求梁的位移
在實際工程中，粱上可能同時作用幾種載荷，此時若用積分法計算其位移，則計算過程比較煩瑣，計算工作量大。由於研究的是小變形，材料處於線彈性階段，因此所計算的梁的位移與梁上的載荷成線性關係。所以，當梁上同時作用幾種載荷時，可先分別求出每一載荷單獨作用時所引起的位移，然後計算這些位移的代數和，即為各載荷同時作用時所引起的位移。
這種計算彎曲變形的方法稱為疊加法。
為了使用方便，將各種常見載荷作用下的簡單梁的轉角和撓度計算公式及撓曲線方程列於表9-1中。利用**，按疊加法計算梁在多個載荷共同作用下所引起的位移是很方便的。
9.3.1 多個載荷作用時求梁的位移的疊加法
根據疊加法，幾個載荷共同作用下樑任意橫截面上的位移，等於每個荷載單獨作用時該截面位移的代數和。
【例9-3】求圖9.10（a）所示梁c截面的撓度和b截面的轉角。設ei為常數。
解：（1）梁的位移的分解
梁上有集度為q的均布載荷和集中力f作用，其c截面的撓度和b截面的轉角為兩個載荷單獨作用下位移的代數和。即
（2）在均布力作用下
b截面轉角查表9-1中第7欄可得
c截面的撓度可以通過查表9-1中第7欄的撓曲線方程，代入座標值計算。即
（3）在集中力f作用下
b截面轉角查表9-1中第6欄可得
c截面的撓度可以通過查表9-1中第6欄的兩段中的任一段撓曲線方程，代入座標值計算。即
（4）疊加
【例9-4】 如圖9.11（a）所示懸臂梁，其抗彎剛度ei為常數，求b點轉角和撓度。
解：（1）在f單獨作用下：
查表9-1中第2欄可得：
（2）在q單獨作用下：
查表9-1中第3欄可得
由於cb段沒有彎矩作用，撓曲線保持直線狀態，而兩段撓曲線在c點應相切，所以b點的轉角和撓度為
（3）在f和q共同作用下：
9.3.2 逐段剛化法
在有些情況下，梁上某截面的位移是由幾段梁的彎曲變形共同引起的。在計算其位移時，可以分別計算各段梁單獨變形引起的該截面的位移，然後代數求和，這種分析方法稱為逐段剛化法。對於表9-1中沒有列出的外伸梁情況以及變截面梁情況，常用逐段剛化法分析。
在梁上作用多個載荷情況下，可以先分解成單個載荷作用情形，然後分別用逐段剛化法分析，再進行位移疊加。下面通過舉例說明其分析方法和特點。
【例9-5】圖9.12（a）所示外伸梁，在c處作用集中力f，梁的ei、l、a已知。求c截面的撓度和轉角。
解：該梁由ab、bc兩段組成，梁在c截面的撓度和轉角等於兩段梁分別變形時在該截面引起的撓度和轉角的代數和。
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